Обратная матрица

Пример 1.5б. Вычислить определитель 4-го порядка.

Решение.

Вычисление определителя 4 порядка по определению довольно трудоемко (формула содержит слагаемых вида (1.2)), поэтому удобнее применить правило своих дополнений. Посвойство , применённому к первой строке, имеем:

Здесь первый и второй определители 3-го порядка были вычислены в примерах 1.4б, 1.3, третий и четвертый равны нулю, т.к. содержат пропорциональные столбцы (см. свойство определителей).

Матрицы и называются взаимно обратными, если . При этом будем обозначать .

Теорема. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда – квадратная и (так называемая невырожденная матрица). При этом

.

Доказательство. 1. Чтобы выполнялось равенство , матрица должна быть квадратной (см. замечание к пункту ).

2. Пусть и при этом существует . Тогда , и, очевидно, должно выполняться равенство . Используя свойства и определителей, получим:

.

Пришли к противоречию, значит, если , то не существует.

3. Формулу для нахождения обратной матрицы докажем на примере матрицы 2-го порядка (см. пример 1.4 а).

.

Аналогично доказывается равенство .

Пример 1.6. Найти матрицу, обратную матрице .

Решение. Согласно теореме для матрицы 3-го порядка .

Из результатов примеров 1.5а, 1.4б имеем:

.

Алгебраические дополнения к остальным элементам матрицы равны: .

Ответ: .

§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений

Дата добавления: 2013-12-12