Уравнение плоскости проходящей через точку и вектор нормали

Расстояние от точки до прямой

Выразим расстояние от произвольной точки на плоскости до прямой :. Пусть нам известны и лежащая на прямой. Тогда, расстояние от точки до прямой можно выразить через проекцию . И по формуле определяем: .

Раскрывая скобки получим:

(8..3)

Если дано нормированное уравнение прямой, то .

Определение. Если в пространстве задана произвольная плоскость и фиксирована произвольная декартова система координат, то плоскость определяется в этой системе координат уравнением первой степени (и наоборот: всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными определяет плоскость относительно данной системы координат).

Определение: Всякий ненулевой вектор ортогональный плоскости, с координатами , называется нормалью к плоскости.

Пусть на плоскости задана некоторая точка и вектор нормали . Если вектор , то ортогонален любой прямой этой плоскости (рис. 8.1), следовательно, , тогда их скалярное произведение обращается в ноль . Записывая последнее равенство в координатной форме получим:

(8.4)

где .

Рис. 8.1.

Дата добавления: 2013-12-11