Гравитационная модель

ЛЕКЦИЯ 11

Исторически одной из первых математических моделей, предложенных для оценки межрайонных корреспонденций, была гравитационная модель. Рассмотрим систему, состоящую из некоторого множества R районов прибытия-отправления, соединенных между собой путями по транспортной сети. Исходными данными к расчету матрицы корреспонденций являются:

Oi — объем отправления из района i 2 R,

Dj — объем прибытия в район j 2 R.

В зависимости от типа корреспонденций объемы могут измеряться в автомобилях, пассажирах или других удобных единицах. Предполагается выполненным условие баланса общего прибытия и отправления

(1)

Если исходные данные не удовлетворяют этому условию, необходимо скорректировать данные умножением на постоянный коэффициент.

Гравитационная модель основана на следующем простом положении: корреспонденция из района i в район j пропорциональна общему объему отправления из центра i, общему объему прибытия в центр j и некоторой функции C(tij), зависящей от транспортного расстояния tij между центрами i и j. С интуитивной точки зрения транспортное расстояние отражает степень близости районов с учетом скорости и удобства передвижений, предоставляемых транспортной сетью. Способ определения этой величины может различаться в разных вариантах модели.

При расчете однородной матрицы корреспонденций, т.е. корреспонденций, составленных из передвижений одного типа и пользователей одного класса, числовым выражением транспортного расстояния является обобщенная цена (в частном случае время проезда) оптимального (кратчайшего) пути, соединяющего два района. Если оцениваются смешанные корреспонденции, например включающие поездки как на общественном, так и на легковом транспорте, необходимо вычислить оптимальную цену передвижений на разных видах транспорта t^k_ij, где k - типы передвижений. В качестве транспортного расстояния тогда можно принять средневзвешенное этих цен с учетом коэффициентов расщепления корреспонденции по типам передвижений:

(2)

здесь c^k(t¹, ….., t^k) - коэффициенты расщепления корреспонденции на типы передвижений как функции от набора оптимальных времен передвижений для разных типов;

эти коэффициенты удовлетворяют условию P^kc^k = 1.

Обозначим через F_ij корреспонденцию из района i в район j. Тогда гравитационная модель может быть сформулирована в виде:

(3)

где коэффициенты определяются из условий

(4)

Функция C(t) называется функцией тяготения. Она является главным фактором, определяющим распределение передвижений по дальности, поэтому применяется также термин кривая расселения. В некоторых публикациях эта функция трактуется как «априорная вероятность зарождения корреспонденции» в зависимости от расстояния, хотя в общем случае она не должна удовлетворять никаким условиям нормировки. Выбор этой функции осуществляется в ходе калибровки модели на основе сопоставления выходного модельного распределения дальностей с данными обследований. Проведено большое количество исследований по калибровке этой функции для разных городов. При практических расчетах часто используется следующая аппроксимация:

(5)

Для трудовых корреспонденций в крупных городах подходящими являются значения параметров α≈0,065, β≈1.

Вычисление корреспонденций в гравитационной модели сводится к определению коэффициентов Ai; Bj из системы нелинейных уравнений (3)-(4). Для решения этой задачи используется итеративный алгоритм, называемый алгоритмом балансировки.

Расщепление корреспонденций по типам передвижений может быть произведено двумя способами. Во-первых, можно изначально оценить объемы O^ki и D^kj отдельно для каждого типа передвижений k, основываясь на социально-демографических показателях, таких как «коэффициент автомобилизации» и др. Далее для каждого типа рассчитывается отдельная матрица корреспонденций методом балансировки.

Альтернативный путь состоит в балансировке матрицы суммарных корреспонденций согласно общим объемам ПО и последующем поэлементном расщеплении на типы передвижений. Коэффициенты расщепления при этом определяются индивидуально для каждой пары районов ПО в зависимости от соотношения цен межрайонных передвижений разных типов. Данный способ позволяет учитывать влияние на выбор способа передвижений факторов разной природы: социально-экономических характеристик населения, особенностей расположения районов и устройства транспортной сети.

Дата добавления: 2013-12-13