Энтропийная модель

Энтропийная модель исходит из вероятностного описания поведения пользователей сети. Пользователи сети случайным образом распределяются по некоторому набору возможных состояний. При расчете корреспонденций состоянием пользователя можно считать принадлежность его к корреспонденции из i в j.

Независимый и случайный выбор всеми пользователями своих состояний приводит к тем или иным макроскопическим состояниям системы. Согласно основной концепции энтропийной модели состояние системы, которое реализуется в реальности, есть состояние с наибольшим статистическим весом. Использование статистического веса состояний вместо распределения вероятностей тех или иных состояний объясняется тем, что в энтропийных моделях может не существовать конечного и нормированного распределения вероятностей. Статистические веса состояний отражают сравнительные вероятности реализации различных состояний в системе. С учетом этой оговорки состояния с наибольшим статистическим весом часто также называются наиболее вероятными состояниями.

Математически состояние с наибольшим статистическим весом определяется как состояние, доставляющее максимум некоторой функции в пространстве состояний, называемой энтропией системы. В применении к задаче определения корреспонденций в транспортной сети энтропия определяется следующим выражением:

(6)

Здесь f_ij — числа заполнения состояний, т.е. количества элементов системы, находящихся в состояниях (i; j). Величины v_ij имеют смысл «априорных наиболее вероятных» значений f_ij. Фактические наиболее вероятные значения F_ij определяются из решения задачи о максимизации энтропии при некоторой системе ограничений на f_ij. В отсутствие ограничений решение задачи максимизации приводит к априорным значениям F_ij = v_ij. Ограничения, накладываемые на распределения, могут быть самой разной природы. Как правило, эти ограничения отражают имеющуюся информацию о макроскопических характеристиках состояния системы. В системе ограничений, применяемых в энтропийных моделях транспортных сетей, можно выделить группу стандартных линейных ограничений, выражающих баланс прибытий

и отправлений. Эта группа ограничений называется также транспортными ограничениями. С учетом сказанного энтропийная модель расчета корреспонденций может быть записана в виде:

(7)

(8)

Здесь явно выделены транспортные ограничения, а также включены в общем виде N дополнительных ограничений-равенств и M ограничений-неравенств. Задача оптимизации (7)-(8) является стандартной задачей математического программирования с выпуклой целевой функцией. Система ограничений в этой задаче, как правило, линейна. Решение задачи в общем случае может быть получено методом множителей Лагранжа. В частном случае, когда имеются только транспортные ограничения, можно получить аналитическое выражение для решения задачи (7)-(8). Это выражение совпадает с выражением, даваемым гравитационной моделью, если задать априорные вероятности в соответствии с функцией тяготения: v_ij = C(t_ij). Другой способ установить связь между энтропийной и гравитационной моделью предложен в. Предположим, что передвижения между районами прибытия и отправления i и j связаны с некоторым количеством «обобщенных затрат». Пусть для каждого района отправления известны суммарные общие затраты на передвижения:

(9)

Данные равенства могут быть использованы в качестве ограничений в задаче максимизации энтропии. Они называются затратными ограничениями. Рассмотрим энтропийную задачу, в которой априорные вероятности тех или иных значений корреспонденций равны: v_ij = const, а в число ограничений включены балансовые и затратные ограничения. Решение задачи также будет совпадать по виду с выражением гравитационной модели, если принять t_ij = c_ij и взять функцию тяготения вида

(10)

Коэффициент в этом выражении есть множитель Лагранжа задачи оптимизации, его значение определяется в ходе решения самой задачи. Согласно такой аргументации энтропийная модель может служить статистическим обоснованием для гравитационной модели, причем дает основание для выбора функции тяготения.

В рамках задачи максимизации энтропии может быть также осуществлен расчет корреспонденций с одновременным расщеплением по типам передвижений. Согласно общему подходу будем считать, что случайное состояние пользователя транспортной сети заключается в принадлежности к корреспонденции из i в j и выборе способа передвижения k. Состояние системы тогда определяется трехиндексным набором f^k_ij. Выражения для энтропийной функции и соответствующей задачи максимизации вполне аналогичны (6)-(8). При этом в состав ограничений должны быть включены дополнительные ограничения по общему объему передвижений для разных типов/

Дата добавления: 2013-12-13