Математическое ожидание генеральной совокупности дискретной случайной величины

Совокупностей

Числовые характеристики генеральной и выборочной

Случайные величины полностью характеризуются законом распределения. Однако во многих задачах практически нет необходимости так полно характеризовать случайную величину. Часто достаточно указать только параметры, характеризующие случайную величину. Нужно указать некоторое среднее значение, около которого группируются возможные числовые значения случайной величины; а также некоторое число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего или центра. Такие характеристики, выражающие в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины. В теории вероятностей используются понятия математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

, (4.13)

где суммирование ведётся по числу значений, которые принимает случайная величина. Например, если производится бросание кубика с пронумерованными гранями, то число значений случайной величины равно 6 (1,2,3,4,5,6), а число измерений (в данном случае определение выпавшего числа после бросания) может быть каким угодно. Математическое ожидание обозначают также буквой и оно является центром рассеивания распределения вероятностей случайной величины При большом числе опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины Х приближается или сходится по вероятности к ее математическому ожиданию,что следует из закона больших чисел в формулировке Чебышева. Математическое ожидание имеет следующие свойства:

1. Если Х = С – const, то μ (С)=С.

Действительно, постоянную величину С можно рассматривать как случайную величину, принимающую одно значение С с вероятностью p = 1, тогда

2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, т.е. .

Действительно:

3. Математическое ожидание суммы случайных величин X и Y равно сумме их математических ожиданий

Это свойство можно обобщить на сумму нескольких случайных величин.

4.. Математическое ожидание произведения случайных независимых величин X и Y равно произведению е их математических ожиданий

Это свойство также можно обобщить на произведение нескольких взаимно независимых случайных величин.

5. Пусть величина Х – μ (Х) является отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания (центрированная случайная величина). Тогда математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю, т.е.

Дата добавления: 2013-12-13