КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Зведення до канонічного виду диференціального рівняння другого порядку
Розглянемо диференціальне рівняння з частинними похідними, яке є лінійним відносно похідних другого поряд-ку: (1.1) де A, B, C – сталі (в загальному випадку можуть бути і функціями, визначеними в деякій області D площини xOy з неперервними похідними до другого порядку включно), F – неперервна функція [4]. Л. Ейлер довів, що будь-яке диференціальне рівняння виду (1.1) за допомогою заміни незалежних змінних і можна привести до одного з трьох видів (типів), відомих як гіперболічний, параболічний та еліптичний (по аналогії з теорією кривих другого порядку в курсі аналітичної геометрії) [1]. Поставимо задачу: за допомогою заміни змінних x і y звести рівняння (1.1) до найпростішого (канонічного) виду. Введемо нові змінні
(1.2)
Нехай функції і – двічі неперервно-диференційовані і якобіан
в області D. Виразимо похідні через нові змінні:
, ;
Підставляючи ці похідні в (1.1), отримаємо:
(1.3) де
Явний вираз нас не цікавить. Спробуємо вибрати функції і так, щоб деякі із коефіцієнтів , , стали рівними нулю. Очевидно, щоб вирішити питання про рівність нулю коефіцієнтів та , достатньо розв'язати еквівалентне завдання про розв'язок наступного диференціального рівняння першого порядку відносно деякої функції z(x, y), яку будемо називати характеристичною функцією:
(1.4) Поділивши (1.4) на отримаємо квадратне рівняння відносно яке фактично розпадається на два: (1.5) (1.6)
Криву z(x, y)=const, що є розв’язком рівняння (1.4) будемо називати характеристичною кривою, а саме рівняння (1.4) − рівнянням характеристик. З умови z (x, y)= const випливає, що
z'x dx+ z'y dy = 0.
Звідси маємо простий зв'язок з похідними функції z(x, y)
Ввівши відповідну заміну в (1.5) і (1.6), отримаємо:
(1.7) (1.8)
Розв'язки рівнянь (1.5) і (1.6) пов'язані з розв'язком рівнянь (1.7) і (1.8) наступним чином. Нехай
, (1.9) − загальні інтеграли рівнянь (1.7) і (1.8). Тоді функції і будуть розв'язками рівнянь (1.5) і (1.6) відповідно, а значить і розв'язками рівняння (1.4). Криві (1.9) називаються характеристиками рівняння (1.1). Зазначимо, що рівняння (1.7) і (1.8) у загальнішій формі можна подати у вигляді одного характеристичного рівняння:
А(dy)²−2Bdxdy+C(dx)²=0. (1.10)
Очевидно, що розв’язки рівнянь (1.7) і (1.8), а значить канонічний вид рівняння (1.1), залежить від знаку дискримінанта D=В²−АС, або знаку визначника
у всій області . У залежності від цього розглянемо три випадки: 1) Нехай у розглядуваній області ∆ < 0 (D = В²−АС >0) − рівняння гіперболічного типу (можна вважати, що або , або ). У цьому випадку загальні інтеграли (1.9) визначають дві дійсних і різних сім'ї характеристик. Оскільки функції φ(x, y) і ψ(x, y) задовольняють рівняння (1.4), то, поклавши в (1.2)
, , (1.11) отримаємо (оскільки знак дискримінанта не змінюється при заміні змінних). Розділивши рівняння (1.3) почленно на 2В, одержимо канонічний вид рівняння гіперболічного типу:
.
При рівняння (1.1) належить гіперболічному типу і вже має канонічний вид. Якщо рівняння (1.1) було лінійним відносно похідних першого порядку і самої функції , то після перетворення рівняння також буде лінійним. Якщо в цьому рівнянні покласти , , то рівняння набуде вигляду:
. Це другий канонічний вид рівняння канонічного типу. 2)Нехай ∆=0 (D=В²−АС =0) – рівняння параболічного типу. В силу вказаної умови можна припустити, що в кожній точці розглядуваної області один з коефіцієнтів , відмінний від нуля. Нехай . У цьому випадку загальні інтеграли (1.9) дійсні і співпадають. Таким чином, є тільки одна сім'я характеристик. Рівняння (1.5) і (1.6) також співпадають і набувають вигляду
Не важко бачити, що будь-який розв’язок цього рівняння в силу задовольняє також рівняння:
Врахувавши це, маємо ξ= φ(x, y), аза η(x, y), візьмемо будь-яку двічі неперервнодиференційовну функцію, для якої якобіан Тоді . Враховуючи, що D = 0(а це означає що і ), отримаємо, що , а коефіцієнт набуває виду Поділивши рівняння (1.3) на одержимо канонічне рівняння параболічного типу:
.
Зауважимо, якщо , а , то отримали б аналогічне канонічне рівняння з зліва. 3) Нехай ∆>0 (D=В²−АС <0) − рівняння еліптичного типу. Тут загальні інтеграли (1.9) є комплексними величинами. Тобто рівняння еліптичного типу не мають дійних характеристик. Нехай φ(x, y)≡ φ1(x, y)+ іφ2(x, y)= С1 − один із загальних інтегралів (1.9); другий загальний інтеграл буде комплексно спряженим з даним. Покладемо в (1.2): ξ= φ1(x, y), η=φ2(x, y). Підставляючи в рівняння (1.4) його розв'язок φ=ξ+іη, отримаємо
Відокремлюючи у цій тотожності дійсну та уявну частини, одержимо:
Звідси випливає, що . Очевидно, що . Тоді отримаємо рівняння еліптичного виду:
Приклад 1.2 Знайти загальний розв’язок рівняння, звівши його до канонічного виду . Тут . Отже, задане рівняння гіперболічного типу. Запишемо рівняння характеристик .
Поділивши на , отримаємо . Знайдемо .
Розв’яжемо ці рівняння.
, .
Введемо заміну змінних
або
Знайдемо всі частинні похідні, що входять у задане рівняння, виразивши їх через :
Підставивши у задане рівняння, отримаємо . Після спрощень одержуємо . Інтегруємо по змінній (можна по ). Тоді , де – довільна функція змінної . Інтегруємо обидві частини по
де і – довільні двічі диференційовні в розглядуваній області функції. Повертаючись до змінних отримаємо Це і буде загальним розв’язком заданого рівняння. Приклад 1.3 Знайти загальний розв’язок рівняння, звівши його до канонічного виду . Тут . Отже, задане рівняння параболічного типу. Запишемо рівняння характеристик . Поділивши на , отримаємо . Знайдемо . .
Звідси . Введемо заміну змінних: . За другу нову змінну візьмемо, наприклад, (очевидно, що і незалежні). Знайдемо всі частинні похідні, що входять у задане рівняння, виразивши їх через : ; ; Підставивши у задане рівняння, після спрощень отримаємо . Інтегруємо двічі по змінній : , , де – довільні функції змінної . Повертаючись до змінних отримаємо . Це і буде загальним розв’язком заданого рівняння. Приклад 1.4 Звести до канонічного виду рівняння . Тут . Отже, задане рівняння еліптичного типу. Запишемо рівняння характеристик .
Поділивши на , отримаємо . Знайдемо . .
Звідси Введемо заміну змінних: – один із загальних інтегралів, другий буде спряженим до нього; Тоді , . Знайдемо всі частинні похідні, що входять у задане рівняння, виразивши їх через : ; ; Підставивши у задане рівняння, після спрощень отримаємо його у канонічному виді: .
Зауваження: наведена класифікація лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами переноситься і на рівняння зі змінними коефіцієнтами, які в нашому посібнику не розглядаються.
Дата добавления: 2013-12-14; Просмотров: 7627; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |