Поперечні коливання скінченної струни. Виведення хвильового рівняння

Лекція 3 поперечні коливання струни

Контрольні запитання

2.1 Які припущення відносно геометричного та фізичного стану стержня слід зробити при виведенні рівняння, яке б описувало поздовжні коливання, що виникають у ньому під час розтягу або стиску внаслідок прикладених зусиль?

2.2 На які фізичні закони спираються при виведенні хвильового рівняння, що описує поздовжні коливання стержня?

2.3 Вигляд хвильового рівняння у випадку важкого стержня.

2.4 З чого складається постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання стержня?

2.5 Що задають та характеризують початкові умови?

2.6 На що вказують крайові умови? Різновиди крайових умов.

Розглянемо туго натягнуту струну із закріпленими кінцями. Якщо вивести її із стану рівноваги, то почнуться коливання струни. При вивченні цього коливального процесу зробимо ряд припущень щодо геометричного і фізичного стану струни:

1) струна скінченна завдовжки l;

2) діаметр поперечного перерізу d набагато менший за довжину струни l, тобто ним можна знехтувати і вважати, що є тільки один характерний розмір – довжина;

3) струна однорідна, тобто лінійна густина

4) струна пружна, тобто має місце закон Гука;

5) коливання поперечні, тобто всі точки струни рухаються перпендикулярно до її положення рівноваги, причому у будь-який момент струна лежить в одній площині;

6) коливання малі, тобто малі відхилення точок струни від положення рівноваги;

7) зовнішні сили неперервно розподілені вздовж струни і діють перпендикулярно до положення рівноваги струни;

8) сила натягу струни у всіх точках є величиною сталою (T= const) і напрямленою по дотичній до струни.

Виведемо рівняння поперечних коливань струни. Введемо систему координат , у якій струну розмістимо на осі .

Рис. 3.1 – Нескінченно малий елемент струни М ₁, М ₂, спроектований на інтервал

Вважаємо, що кінці струни (та ) закріплені нерухомо. Якщо струну вивести із положення рівноваги (відтягнути, або ударити по ній), то кожна її точка переміститься на деяку величину . Розглянемо нескінченно малий елемент струни М ₁ М ₂, який проектується на інтервал . На цей елемент діють сили натягу T, які замінюють відкинуті частини струни (Рис. 3.1). Знайдемо проекції сил на вісь Ou:

. (3.1)

Оскільки коливання малі, то кути α₁ та α₂ теж малі, тому мають місце наступні перетворення (з точністю до нескінченно малих вищих порядків):

;

.

Тоді сила натягу струни

(3.2)

Сила натягу належить до внутрішніх сил. Припустимо, що на одиницю довжини струни діє зовнішня сила з інтенсивністю . Елементарна сила, що діє на елементарну довжину струни з проекцією дорівнює , а на виділений елемент : .

Зовнішня сила вважається додатною, якщо вона діє вгору, і від’ємною, якщо – вниз.

Тепер, згідно другого закону Ньютона (сума всіх діючих на рухомий об’єкт сил дорівнює добутку його маси на прискорення), маємо:

або .

За основною лемою математичної фізики маємо:

або, поділивши на ,

. (3.3)

Введемо такі позначення: ; Тоді отримаємо хвильове рівняння для поперечних коливань струни:

, . (3.4)

Зазначимо, що – розв’язок цього рівняння, що визначає положення будь-якої точки струни у будь-який момент часу , тобто визначає форму струни.

Знайдемо вільний член , пов’язаний з наявністю зовнішніх сил, у випадку важкої струни. Середня інтенсивність сили тяжіння для елемента : .

Інтенсивність в точці струни

Тоді , а хвильове рівняння набуває вигляду:

, . (3.5)

Якщо то коливання називаються вільними, а якщо то – вимушеними.

З фізичної точки зору коефіцієнт – це швидкість розповсюдження поперечної хвилі, що підтверджується його розмірністю:

. Отже, .

Дата добавления: 2013-12-14