Уравнение (5.15) называется уравнением (условием) баланса комплексных мощностей

Баланс мощностей

Рассмотрим произвольную электрическую цепь, содержащую N идеальных источников напряжения, М идеальных источников тока Н идеализированных пассивных элементов. Пусть i_k, u_k – ток и напряжение k -го элемента цепи. Из закона сохранения энергии следует, что сумма мгновенных мощностей всех элементов цепи в каждый момент времени равна нулю:

(5.13)

Группируя члены, соответствующие идеализированным активным () и идеализированным пассивным () элементам, уравнение (5.13) можно преобразовать к виду

(5.14)

Уравнение (5.14) называют уравнением (условием) баланса мгновенных мощностей. Принимая во внимание, что мгновенная мощность любого элемента характеризует скорость потребления энергии этим элементом (потребляемая мощность), а мгновенная мощность, взятая со знаком минус, – скорость отдачи энергии этим элементом (отдаваемая мощность), условие баланса мгновенных мощностей может быть сформулировано следующим образом: сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками, равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми приемниками энергии (необходимо иметь в виду, что потребляется и отдается не мощность, а электрическая энергия).

Можно показать, что условие, аналогичное (5.14), выполняется и для комплексных мощностей всех элементов:

(5.15)

Таким образом, сумма комплексных мощностей, отдаваемых всеми идеализированными активными элементами, равна сумме комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов.

Для практических расчетов электрических цепей условие баланса мощностей удобно представить в следующем виде:

. (5.16)

Левая часть выражения (5.16) представляет собой алгебраическую сумму комплексных мощностей, отдаваемых всеми активными элементами. Слагаемое есть произведение комплексного действующего значения ЭДС источника напряжения на комплексно-сопряженный ток этого источника; слагаемое равно произведению комплексного напряжения на источнике тока на комплексно-напряженный ток этого источника. Слагаемые, стоящие в левой части выражения (5.16), берут со знаком плюс, если направления токов и напряжений выбраны в соответствии с рисунком 4.3. В противном случае эти слагаемые берут со знаком минус. Правая часть уравнения (4.16) есть сумма комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов, причем каждое слагаемое вида равно произведению квадрата действующего значения тока k -го идеализированного пассивного элемента на его комплексное сопротивление.

Рисунок 5.3 – К определению знака комплексной мощности, отдаваемой источниками напряжения (а) и тока (б)

Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей: активная мощность, отдаваемая всеми источниками, равна активной мощности всех потребителей:

реактивная мощность всех источников равна реактивной всех потребителей:

где – вещественная и мнимая составляющие комплексного сопротивления k -го элемента.

Пример 2. Комплексный ток последовательной RL – цепи с параметрами элементов R = 8 кОм, L = 4 мГн, к зажимам которой подключен источник ЭДС Проверим выполнение условия баланса мощностей.

Находим комплексное входное сопротивление цепи:

.

Используя закон Ома в комплексной форме, определяем комплексный ток в цепи

.

Комплексная мощность, отдаваемая источником напряжения,

равна комплексной мощности, потребляемой сопротивлением и индуктивностью:

Таким образом, условие баланса комплексных мощностей выполняется.

Дата добавления: 2013-12-14