Постановка задачи параметрической оптимизации

Основы оптимизации и методы синтеза систем управления

Пусть поведение одномерной системы управления описывается дифференциальным уравнением вида:

D(p) y(t) = C(p) r(t), p = d / dt

(3.1)

_.

D(p) – операторная функция преобразования. Аналогично можно записать операторную функцию C(p). Особого внимания заслуживает рассмотрение преобразования входного сигнала r(t) в выходной y (t):

(3.2)

– ядро операторного преобразования. Если в системе управления выделить вектор варьируемых параметров х, то последняя формула примет вид:

y(t,x) = (x, t-t) r(t) dt

(3.3)

Пусть на качество САУ наложены ограничения вида:

| y (x, | £	(3.4)
| h (x, t > Tрег) - h (х, t)| £	(3.5)
| h(x, t) - h (х, t)| £ , t Î (0,Tрег)	(3.6)

Здесь приняты следующие обозначения: - - абсолютное значение величины перерегулирования; - статическая ошибка; h (x,t) - переходная характеристика; h (х, t¥) - установившееся значение переходного процесса; - требуемое значение выходной (управляемой) переменной. Если от одномерной системы управления перейти к многомерной, и в качестве х рассматривать вектор варьируемых параметров, то любая компонента i вектора управляемых параметров может быть представлена формулой:

yi (x, t) = ij (x, t - t) rj(t) dt

(3.7)

Задача параметрической оптимизации для многомерной САУ, поведение которой описывается системой уравнений (3.7), состоит в определении таких значений вектора x, принадлежащих заданной области, при которых САУ будет обладать заданными характеристиками. Решение задачи сложный и трудоемкий процесс, часто с трудно разрешимыми ситуациями. «Метод проб и ошибок» в поиске рациональных параметров не является эффективным. Рассмотрим решение на основе моделирования процессов в комплексной плоскости. В качестве модели САУ будем рассматривать модель вида:

Y(x, s) = W(x,s) * R(s),

(3.8)

Без рассмотрения подробностей воспользуемся доказанным утверждением. Для выполнения условий (3.4) - (3.6), налагаемых на качество системы управления во временной области, достаточно выполнение следующих условий в комплексной плоскости:

| s Y(x,s) - |£	(3.9)
s Î W	(3.10)

В связи с этим задача параметрической оптимизации может быть сформулирована следующим образом. Для многомерной системы управления, поведение которой описывается системой уравнений (3.8) требуется найти такое значение вектора оптимизируемых параметров х= хопт. (х - вектор неизвестных коэффициентов передаточных функций управляющей части), при котором система управления будет обладать требуемым качесвом (3.9) – (3.10) за счет максимального приближения к эталонной системе управления, чтобы целевая функция F(x), характеризующая такое приближение, принимала минимальное значение

.

Дата добавления: 2014-01-05