Основные операции над множествами

Множества. Способы задания множеств.

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ОТНОШЕНИЙ

Начало теории множеств было положено в ХIХ веке работами Больцано, Дюбуа, Реймона, Дедекинда, посвящёнными числовым множествам и множествам функций. Но основателем теории множеств является Георг Кантор, рассмотревший в своих работах множества произвольных элементов. В 1971-1883 гг. он опубликовал научные работы, в которых изложено практически всё современное содержание теории кардинальных чисел, порядковых чисел и теории вполне упорядоченных множеств. Хотя основные положения и обобщения изложенной теории содержали немало противоречий, позволяющих строить антиномии теории множеств, это был, всё же, очень важный шаг. Эти противоречия были преодолены Цермело посредством работ, опубликованных в 1904-1908 гг. и содержащих первую систему аксиом теории множеств. Этих аксиом оказалось достаточно, чтобы получить важные для математики научные результаты, не позволяющие строить известные антиномии. Тесная связь между теорией множеств и философией математики породило немало дискуссий о природе антиномий и аксиоматизации теории множеств. Фундаментальные проблемы философии математики, такие как понятие существования в математике, аксиоматические версии описания действительности, необходимость доказательств непротиворечивости и средства, допустимые в таких доказательствах, нигде не были выяснены лучше, чем в этих дискуссиях. Недоверие к теории множеств прекратилось и основные положения вновь созданной теории стали повсеместно использоваться во всех областях математики.

Основным понятием теории множеств является множество и отношение быть элементом. Это понятие по мере развития теории претерпело значительные изменения. В начальный период развития теории множеств, во времена так называемой «наивной» теории множеств, пользовались интуитивным понятием множества. В рамках этого понятия слово «множество» имело неопределённое значение. В частности, такую позицию занимал создатель теории множеств Георг Кантор.[2]

Но такое положение долго не продержалось.

Под множеством будем понимать совокупность элементов, объединённых некоторым признаком или свойством. Например, множество журналов, множество статей в журнале, множество студентов в группе, на факультете и т.д. Принадлежность некоторого элемента множеству будем записывать как , а непринадлежность ─ . Множество можно задать тремя способами. Первый способ ─ перечисление элементов. В этом случае обозначения элементов заключают в фигурные скобки в виде записи или или . Второй способ ─ использование характеристического предиката (характеристического свойства). Характеристический предикат ─ это некоторое условие в виде логического утверждения, которое возвращает логическое значение из множества {0,1}. Во втором случае используется запись , означающая, что множество состоит из элементов, обладающих свойством , или , означающая, что множество состоит из тех и только тех элементов натурального ряда чисел, которые больше 100. Характеристическое свойство записывается после знака «/». В первом случае в качестве характеристического свойства выступает указанная для этого свойства порождающая процедура . Эта процедура описывает способ получения элементов нового множества из уже полученных элементов или каких-либо объектов. Таким образом, запись означает, что множество состоит из элементов, обладающих признаком . В качестве этого признака может быть использовано уравнение:. Это означает, что множество состоит из корней уравнения . Таким образом, если для данного элемента выполняется условие, то он принадлежит множеству, в противном случае не принадлежит. Третий способ ─ использование порождающей процедуры, которая в случае её активизации порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определяемого множества: . Перечислением можно задавать только конечные множества (определение конечного множества приведено ниже).

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Пустое множество обозначается .

Множество, состоящее из всех возможных элементов, обладающих заданным признаком, называется универсальным и обозначается как . Примером универсального множества может быть множество планет Солнечной системы

.

Понятие универсального множества чётко не определено, т.е. не корректно. Одно универсальное множество можно включить в другое множество, которое также будет универсальным.

Множество называется конечным, если число его элементов конечно. Множество называется бесконечным, если количество его элементов бесконечно.

Обычно множества обозначают прописными буквами латинского алфавита, а элементы множеств ─ строчными буквами. Множества геометрически представляются с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна) (рис. 2.1.). В диаграммах Венна элементы множества изображаются точками внутри круга, если они принадлежат множеству (), и точками вне круга, если они не принадлежат этому множеству ().

Множества, как объекты, в свою очередь могут быть элементами других множеств. Множество, элементами которого являются множества, называются семействами или классами.

Над множествами выполняются теоретико-множественные операции, в результате которых образуются новые множества: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение. Эти операции являются способами конструирования новых множеств из заданных множеств.

Рассмотрим два произвольных множества: множество и множество . Допустим, что каждому элементу множества ставится в соответствие свойства , а каждому элементу множества ставится в соответствие свойство . Таким образом, каждый элемент множества и обладает соответственно свойством и .

Дата добавления: 2014-01-05