Решение. В задаче требуется доказать равенство множеств X=AÇ(BÈC) и У=(АÇВ)È(АÇС)

В задаче требуется доказать равенство множеств X=AÇ(BÈC) и У=(АÇВ)È(АÇС).

В соответствием с выражением (7) два множества Х и У равны тогда и только тогда, когда выполняются два условия:

Х=У«("хÎХ®хÎУ)Ù("уÎУ®уÎХ).

Пусть хÎАÇ(ВÈС). Тогда по определению пересечения множеств (2) хÎАÙ хÎВÈС. Используя выражение (1) можно утверждать, что

хÎА Ù (хÎВ Ú хÎС). Выражение хÎВ Ú хÎС означает, что могут иметь место следующие три случая:

хÎВÙхÏС или хÏВ Ù хÎС, или хÎВ Ù хÎС.

Если хÎА Ù хÎВ Ù хÏС, то хÎАÇВ, если хÎА Ù хÏВ Ù хÎС, то хÎАÇС, если хÎА Ù хÎВ Ù хÎС, то хÎАÇВÇС, т.е. имеем

хÎАÇВ Ú хÎАÇС Ú хÎАÇВÇС.

На основании (14) можно записать хÎАÇВ Ú хÎАÇС Ú хÎ(АÇВ)Ç(АÇС).

По определению объединения хÎ(АÇВ)ÈхÎ(АÇС)®хÎ(АÇВ)È (АÇС). Пусть теперь у Î(АÇВ)È (АÇС)® у Î(АÇВ) Ú у Î(АÇС)® (у ÎА Ù у ÎВ) Ú (у ÎА Ù у ÎС) ® у ÎА Ù (у ÎВ Ù у ÎС)® у ÎАÇ(ВÈС).

2.Доказать, что ù(АÇВ)=ùАÈùВ.

Решение

"хÎù(АÇВ)®хÏ(АÇВ)®хÏА Ú хÏВ®хÎùА Ú хÎùВ.

"хÎùАÈùВ® хÎùА Ú хÎùВ® хÏА Ú хÏВ® хÏАÇВ® "хÎù(АÇВ).

3. Доказать, что для любых А,В и С справедливо равенство А\(ВÈС) = (А\В) Ç (А\С).

Решение

"хÎ А\(В ÈС)®хÎА Ù хÏВÈС® хÎА Ù хÏВ Ù хÏС® хÎА Ù хÏВ Ù хÎА Ù хÏС®®хÎ(А\В) Ù хÎ(А\С)® хÎ(А\В)Ç (А\С);

"хÎ(А\В)Ç (А\С)® хÎА\В Ù хÎА\С® хÎА Ù хÏВ Ù хÎА Ù хÏС®

® хÎА Ù (хÏВ Ù хÏС)® хÎА Ù хÏ(ВÈС)® хÎ А\(В ÈС).

4. Доказать, что АÍВ®АÈСÍВÈС.

Решение

(АÍВ)

"хÎАÈС®хÎА Ú хÎС ® хÎВ Ú хÎС®хÎВÈС.

Дата добавления: 2014-01-05