Задачи для самостоятельного решения

Пример

А=(а ₁, а ₂, а ₃ ); В=(в ₁, в ₂ ).

АВ={(а ₁, в ₁ ), (а ₁, в ₂ ), (а ₂, в ₁ ), (а ₂, в ₂ ), (а ₃, в ₁ ), (а ₃, в ₂ )}.

Прямым произведением множеств Х₁, Х₂, …, Х _n называют множество, обозначаемое Х ₁ Х ₂ …Х _n и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству Х ₁ , вторая - Х ₂, и так далее:

Х ₁ Х ₂ …Х _n {(х ₁, х ₂, …,х _n ) / х ₁ Î Х ₁, х ₂ Î Х ₂, …, х _n Î Х _n }.

Если Х ₁ =Х ₂ =…=Х _n, то множество Х ₁ Х ₂ …Х _n называется прямой степенью множества Х и обозначается Х ⁿ.

Задачи и упражнения

1. Доказать, что если А, В, С и D не пусты, то:

а)АÍВÙСÍD«АCÍBD;

б)(АÇВ) (СÇD)= (АC)Ç(BD);

в) А(В\С)=(АВ)\(АC);

г) (А\В) С=(АС)\(ВC).

Решение

AÍBÙCÍD

а) "(x, y)ÎАC®xÎA, yÎC xÎB, yÎD®(x, y)ÎBD® АCÍBD;

АCÍBD

"xÎA, yÎC xÎB, yÎD® АÍВÇСÍD;

б) "(x, y)Î(AÇB)(СÇD)®xÎAÇB, yÎСÇD® xÎA Ù xÎB, yÎС Ù yÎD®

® xÎA, yÎС Ù xÎB, yÎD®(x, y)Î(АC) Ù (x, y)Î(BD)®

®(x, y)Î (АC)Ç(BD)® (AÇB)(СÇD)Í (АC)Ç(BD);

"(x, y)Î(АC)Ç(BD)®(x, y)Î(AC) Ù (x, y)Î(BD)®

® xÎA, yÎС Ù xÎB, yÎD® xÎA Ù xÎB, yÎС Ù yÎD®

® xÎAÇB, yÎСÇD®(x, y)Î(AÇB) (СÇD)Í (AÇB)(СÇD).

в) "(x, y)Î А(В\С)® xÎA, уÎB\С® xÎA, уÎB Ù уÏС® xÎA, уÎB Ù xÎA, уÏС®

®(x, y)Î АВ Ù (x, y)ÏАС®(x, y)Î(АВ)\(АC)® А(В\С)Í(АВ)\(АC);

"(x, y)Î(АВ)\(АC)®(x, y)Î(АВ) Ù (x, y)Ï(АС)®

® xÎA, уÎB Ù (xÎA, уÏС Ú xÏA, уÎС Ú xÏA, уÏС)®

(но х не может одновременно и принадлежать множеству А и не принадлежать

ему, поэтому принимаем xÎA, уÏС)

® xÎA, уÎB Ù xÎA, уÏС® xÎA, (уÎB Ù уÏС)® xÎA, уÎB\С®

® (x, y)Î А(В\С)® (АВ)\(АC)Í А(В\С);

г) "(x, y)Î(А\В) С®хÎ А\В, уÎС® хÎА Ù хÏВ, уÎС®хÎА, уÎС Ù хÏВ, уÎС® (x, y)Î(АС) Ù (x, y)Ï(ВC)® ® (х,y)ÎАС\ВC®(А\В)СÍ(АС)\(В * C);

"(x, y)ÎАС\ВC®(x, y)Î(АС) Ù (x, y)Ï(ВC)® ® хÎА, уÎС Ù (хÎВ, уÏС Ú хÏВ, уÏС Ú хÏВ, уÎС)® хÎА, уÎС Ù хÏВ, уÎС®

® (хÎА Ù хÏВ), уÎВ® хÎА\В, уÎВ®(x, y)Î(А\В) С®(АС)\(ВC)Í (А\В)С;

2. Пусть Х={х, (у, z), (a, b), {d}}, У={x, (k, e), {m, n}}.

Найти:

а) ХУ;

б) (Х\У) Х;

в) (ХÈУ) У;

г) (ХÇУ)А;

д) ХÇ(ХУ);

е) ХÆ.

3. Найти декартов квадрат множества А={1, 2, 3, 4}.

4. Найти декартов куб множества В={5, 6, 7}.

5. Доказать, что если A, B, C и D не пусты, то А=В и С=D«АС=DD.

6. Доказать, что ÇА _t ÇB _t =Ç(А _t B _t ).

7. Доказать тождество:

а) (АВ)È(CD)Í(AÈC) (BÈD);

б) (AÈB) С=(АC)È(BC);

в) А(BÈC)= (АВ)È(AC);

г) (AÈC)(CÈD)=(АC)È(BC)È (АD)È(BD);

д) (А\В) С=(АС)\(ВC);

е) А(В\С)=(АВ)\(АC).

8. Доказать, что если множества A, B, C и D не пусты, то:

а) АÍВ Ù CÍD®АСÍВD;

б) A=B Ù C=D® АС=ВD;

в) АСÍВD® АÍВ Ù CÍD;

г) АС=ВD® A=B Ù C=D;

е) (АВ)È(СD)Í (AÈC)(BÈD).

Дата добавления: 2014-01-05