Частотные характеристики

Передаточная функция выражает свойства системы через комплексную переменную, которая содержит действительную и мнимую части: p = σ + j ω. Мнимая часть имеет смысл циклической частоты колебаний. Если взять чисто мнимое значение комплексной переменной, p = j ω, и ввести эту величину в передаточную функцию (2.6), получается частотная функция:

. (2.8)

Ее называют комплексная частотная характеристика, амплитудно-фазовая частотная характеристика, комплексный коэффициент усиления.

По определению, она записывается отношением частотных полиномов. Но возможны и другие формы записи. Обратим внимание на то, что частотный полином В (j ω) в развернутом виде,

,

представляет собой сумму действительной и мнимой частей:

.

Так получается потому, что j = в четной степени будет либо – 1, либо + 1.

Частотный полином D (j ω) в развернутом виде имеет ту же структуру:

D (j ω) = D ₁(ω) + jD ₂(ω),

следовательно, комплексная частотная характеристика есть отношение двух комплексных чисел:

.

Умножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю, позволяет выделить действительную и мнимую части:

.

Первое слагаемое обозначим U (ω), второе V (ω). U (ω) называют действительной частотной характеристикой, V (ω) - мнимой частотной характеристикой. В краткой записи

W (j ω) = U (ω) + jV (ω). (2.9)

Комплексное выражение (2.9) можно интерпретировать геометрически, отложив по оси абсцисс действительную частотную характеристику, по оси ординат – мнимую частотную характеристику, рис. 2.1.

V (ω)

М

V

A

U (ω)

U

φ

Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация W (j ω)

Для заданной частоты U (ω) и V (ω) – пара чисел, определяющих положение точки М на плоскости. Соединив прямой А начало координат с точкой М, получим прямоугольный треугольник. Для него справедливы соотношения:,,

,. (2.10)

Все величины – функции частоты ω.

Комплексную частотную характеристику, следовательно, можно записать в виде

W (j ω) = U (ω) + jV (ω) = A (cos j(ω) + j sinj(ω)).

По формуле Эйлера. Поэтому

. (2.11)

А (ω) называют амплитудной частотной характеристикой или просто амплитудой. (ω) называют фазовой частотной характеристикой или просто фазой.

Для практических расчетов широко применяются логарифмические частотные характеристики. Их две: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ).

ЛАЧХ называют графическое представление функции

L (ω) = 20 lg A (ω)

в зависимости от lg ω. Точнее, не самой функции, а ее асимптотических приближений в виде отрезков прямых. Асимптоты находят для области ω < 1 и для области ω > 1. Прямые строят по точкам пересечения с осями координат и между собой.

Для построения графика ЛФЧХ по ординате откладывают фазу, по абсциссе – соответствующий ей lg ω.

Пример 2.2.

Записать комплексную частотную характеристику, частотные характеристики, амплитуду и фазу для системы, описываемой дифференциальным уравнением

.

Преобразуя по Лапласу, получаем операторное уравнение

(p ² + 3 p + 1) Y (p) = 2 X (p)

и передаточную функцию:

.

Подстановкой p = j ω превращаем передаточную функцию в комплексную частотную характеристику:

.

Действительная частотная характеристика

.

Мнимая частотная характеристика

.

Амплитуда

.

Фаза

.

Пример 2.3.

Найти комплексную частотную характеристику, амплитуду и фазу пропорционально-интегрального регулятора (ПИ - регулятора). Его уравнение.

(T – постоянная времени, k – коэффициент усиления).

Продифференцируем исходное уравнение,

и преобразуем по Лапласу:

.

Из операторного уравнения составим передаточную функцию:

.

Полагая p = j ω, записываем комплексную частотную характеристику

,

находим частотные характеристики:

и амплитудную частотную характеристику:

.

Фаза в функции частоты имеет выражение

.

Пример 2.4.

Найти логарифмическую амплитудную частотную характеристику ПИ - регулятора.

Воспользуемся выражением для амплитуды и запишем общий вид ЛАЧХ:

L (ω) = 20 lg A (ω) = 10 lg(k ² T ²ω² + 1) – 20 lg T ω.

Выделим асимптотические прямые.

В области ω < 1. С уменьшением ω слагаемое k ² T ²ω² становится пренебрежимо меньше единицы. Его можно отбросить. Тогда первый член L (ω) обращается в нуль вследствие lg 1 = 0. Остается

L ₁ = – 20 lg T – 20 lg ω.

В области ω > 1. В первом слагаемом следует пренебречь единицей. В таком случае

L ₂ = 20 lg k + 20 lg T ω - 20 lg T ω = 20 lg k.

Для построения графика надо найти точки пересечения прямой L ₁ c осями координат и с прямой L ₂. (По ординате откладывают L ₁, L ₂, по абсциссе lg ω).

Точка пересечения с осью ординат находится из условия lg ω = 0. Получается: L ₁ = – 20 lg T = 20 lg (1/ T).

Точка пересечения с осью абсцисс находится из условия L ₁ = 0. Получается: lg ω = lg (1/ T).

Точка пересечения прямой L ₁ с прямой L ₂ находится из условия L ₁ = L ₂. Получается: lg ω = lg (1/ kT).

Вид графика показан на рис. 2.1.

L (ω)

L ₂

20 lg k

20 lg

lg ω

L ₁

Рис. 2.2. Асимптотическая логарифмическая

амплитудная частотная характеристика ПИ - регулятора

Дата добавления: 2014-01-05