Второго порядка

Апериодическое звено

Колебательное звено

Математической моделью колебательного звена является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (3.7)

при условии.

Колебательные процессы характеризуются двумя важными параметрами: коэффициентом затухания ξ и резонансной частотой ω₀. Они выражаются через постоянные времени уравнения (3.7): ξ = Т ₀/2 Т, ω₀ = 1/ Т. Если ввести ξ в уравнение (3.7), оно получает вид, более удобный для исследования колебательного процесса:

2 ξ Т + y = kx. (3.8)

Дифференциальному уравнению (3.8) соответствует операторное уравнение

(T ² p ² + 2 ξ Tp + 1) Y (p) = kX (p),

из которого получается передаточная функция

.

Если выходная величина не изменяется (dy / dt = 0, p = 0) передаточная функция вырождается в коэффициент усиления: K (0) = k.

Комплексная частотная характеристика звена

.

Действительная и мнимая частотные характеристики имеют вид:

,

.

Амплитудная частотная характеристика колебательного звена

.

У колебательного звена кривая A (ω) имеет пик, вершина которого отвечает частоте ω₀ = 1/ T (рис. 3.7). То есть резонансной частоте. Максимальная величина амплитуды равна k / 2ξ. Пик выше, если больше коэффициент усиления и меньше коэффициент затухания.

Фазовая частотная характеристика в интервале изменения частоты от ω = 0 до ω = 1/ T рассчитывается по формуле

k

ω

ω ₀

A (ω)

Рис. 3.7. Зависимость амплитуды от частоты.

1 – ξ = 0,20, 2 – ξ = 0,5, 3 – ξ = 0,75

ω₀

ω

φ(ω)

Рис. 3.8. Фазовая частотная характеристика колебательного звена.

1 – ξ = 0,2, 2 – ξ = 0,4, 3 – ξ= 0,8

L (ω)

20 lg k

L₁

lg

lg

lg ω

L ₂

Рис. 3.9. Асимптотическая ЛАЧХ в интервале 0,3 < ξ < 1

При ω = 0 φ(ω) = 0. Значению ω₀ = 1/ T соответствует запаздывание – 90 °. С увеличением ω запаздывание увеличивается и расчет надо вести по формуле

.

Характер кривых показан на рис. 3.8.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид:

L (ω) = 20 lg k – 10 lg [(1- T ²ω²)² + 4 ξ² T ²ω²].

Форма этой кривой зависит от коэффициента затухания ξ. В интервале 0,3 < ξ < 1 приемлемо асимптотическое представление. В области ω < 1 L ₁ = 20 lg k. В области ω > 1 L ₂ = 20 lg (k / T ²) – 40 lg ω. Условие сопряжения прямых ω₀ = 1/ T, т.е. на резонансной частоте. Пересечение прямой L ₂ c осью абсцисс при ω = / T. Расположение асимптотических прямых показано на рис. 3.9.

В случае ξ < 0,3 нужно пользоваться точной ЛАЧХ из-за возрастания амплитуды в окрестности резонансной частоты.

Переходная функция есть решение уравнения (3.8) при x = 1:

,

где ω₀ = 1/ T,.

Переходная функция описывает затухающие колебания. Колебания затухают тем медленнее, чем меньше ξ. При ξ = 0 колебания совершаются с постоянной амплитудой, т.е. становятся гармоническими. Звено, реализующее гармонические колебания называют консервативным.

Оно описывается тем же дифференциальным уравнением (3.7.), что и колебательное звено, но при условии Т ₀ > 2 T. Корни характеристического уравнения становятся действительными, звено перестает быть колебательным и превращается в апериодическое.

Операторное уравнение

(T ² p ² + T ₀ p +1) Y (p) = kX (p).

Передаточная функция

.

При отсутствии изменения выходной величины (p = 0) K (p) = k, коэффициенту усиления.

Комплексная частотная характеристика

.

Действительная и мнимая частотные характеристики

,

.

Амплитуда

Последнее выражение показывает, что амплитудная частотная характеристика резко отличается от таковой для колебательного звена, рис. 3.10. При ω = 0 значение амплитуды равно k. С увеличением частоты амплитуда уменьшается до нуля. То есть, это монотонная кривая.

ω

A (ω)

k

Рис. 3.10. Амплитудная частотная характеристика

апериодического звена второго порядка

Аналогично колебательному звену, фазовая частотная характеристика в интервале 0 £ ω £ 1/ T рассчитывается по формуле

В интервале 1/ T < ω < ∞ используется формула

Для апериодического звена асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика получается такой же, как на рис. 3.9.

Переходная функция получается решением уравнения (3.7) при условии x = 1:

и начальных условиях h = 0, dh / dt = 0 при t = 0.

Характеристическое уравнение

имеет корни

.

Они действительные и отрицательные так как в силу условия апериодичности звена T ₀ > 2 T.

Переходная функция получается в виде:

.

При t = 0 h (t) = 0. С увеличением t кривая монотонно стремится к пределу h = k.

Апериодическое звено второго порядка можно назвать типовым условно, потому что такая же математическая модель реализуется двумя инерционными звеньями, соединенными последовательно, рис. 3.11.

A

Б

x (t)

x ₁(t)

y (t)

Рис. 3.11. Два последовательно соединенных инерционных звена

Чтобы показать это достаточно, исходя из дифференциальных уравнений звеньев А и Б, получить дифференциальное уравнение (3.7). Пусть уравнения звеньев имеют вид

Б

А

,.

Выделим из уравнения Б переменную x ₁, продифференцируем по t и заменим соответствующие величины в уравнении А. Это приводит к выражению

где x, y - входная и выходная величина системы из двух инерционных звеньев. Обозначая T ₁ T ₂ = T ², T ₁ + T ₂ = T ₀, k ₁ k ₂ = k, получаем уравнение (3.7):

.

Дата добавления: 2014-01-05