Интегрирующее звено

Построение выполняется по формуле

Пример 3.2.

Построение выполняется по формуле

Инерционное звено

Другое название - апериодическое звено первого порядка. Описывается дифференциальным уравнением

(3.3)

где Т – постоянная времени звена, k – коэффициент усиления.

Операторное уравнение

(Tp + 1) Y (p) = kX (p).

Передаточная функция

При p = 0 передаточная функция вырождается в коэффициент усиления. (p = 0 означает отсутствие изменения выходной величины, dy / dt = 0, что превращает инерционное звено в усилительное).

Комплексная частотная характеристика

Действительная и мнимая частотные характеристики

При ω = 0 амплитуда равна коэффициенту усиления, с увеличением ω стремится к нулю.

Амплитудная частотная характеристика:

Фазовая частотная характеристика:

Она представляет собой кривую, асимптотически приближающуюся к величине φ (∞) = – π/2.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика:

.

Найдем асимптотические прямые логарифмической амплитудной частотной характеристики. В области низких частот, ω < 1, асимптотой будет В области высоких частот, ω > 1, асимптотой будет. Прямая L ₂ пересекает ось абсцисс при lg ω = lg (k / T), ось ординат при lg ω = 0; L ₂ = 20 lg (k / T). Прямые L ₁ и L ₂ пересекаются в точке сопряжения. Приравняв, найдем частоту сопряжения: (Ее также называют собственной частотой инерционного звена). Общий вид графика представлен на рис.3.2.

L (ω)

L ₁

L ₂

Рис. 3.2. Общий вид асимптот ЛАЧХ инерционного звена

Переходная функция находится как решение уравнения (3.3) при x = 1 и у (0) = 0:

.

h (t) возрастает экспоненциально и стремится стать равной k при ® ∞.

Пример 3.1.

Построить график комплексной частотной характеристики инерционного звена для k = 10, Т = 0,1.

,

где,.

Данные заносятся в таблицу 1.

Таблица 1

ω	ω ^2 Т ^2 + 1	U	V
∞ 3,16 31,6	∞^2 1,1	9,1 0,91	- 5 - 2,9 - 2,9

Подставляя в формулы исходные данные, получаем:

,

.

Вначале находим координаты пересечения:

U = 0, ω = ∞, V (∞) = 0.

V = 0, ω = 0, U (0) = 0.

Затем задаем удобные для вычисления значения ω.

,,.

ω = 3,16, (ω²» 10), U (3,16) = 9,1, V (3,16) = - 2,9.

ω = 31,6, (ω²» 1000), U (31,6) = 0,91, V (31,6) = - 2,9.

Полученных значений U и V достаточно, чтобы приближенно провести контур кривой. Необходимые для уточнения хода кривой точки задаются по интуиции.

Кривая вычерчивается на комплексной плоскости. По оси абсцисс откладываются значения U (ω), по оси V (ω). Вид графика комплексной частотной характеристики показан на рис. 3.3.

ω

A (ω)

U

ω ® ∞

ω = 0

V

Рис. 3.3. График комплексной Рис. 3.4. Зависимость

частотной характеристики амплитуды от частоты

Построить амплитудную частотную характеристику инерционного звена для k = 10, Т = 0,1.

.

С заданными значениями k и Т

.

Задавая ω = 0; 10; 20; 30; 50; ∞ соответственно получаем А = 10; 7; 4,5; 3,2; 2; 0.

График представлен на рис. 3.4.

Дифференциальное уравнение этого звена устанавливает пропорциональность скорости изменения выходной величины величине входного воздействия:

(3.4)

(Сама выходная величина пропорциональна интегралу от входной величины,

.

Отсюда и название звена – «интегрирующее»).

Операторное уравнение:

.

Передаточная функция:

.

Комплексная частотная характеристика

.

Действительная частотная характеристика U (ω) = 0. Мнимая частотная характеристика V (ω) = – k / T ω.

Амплитудная частотная характеристика

.

При ω = 1/ T, амплитуда равна коэффициенту усиления. В области ω < 1/ T амплитуда возрастает по мере уменьшения ω и когда ω = 0, становиться равной ∞. В области ω > 1/ T амплитуда уменьшается с увеличением ω и стремиться к нулю при неограниченном увеличении ω.

Фазовая частотная характеристика от ω не зависит:

, φ = – 90°. Запаздывание по фазе постоянное при любой частоте.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

.

В области низких частот ω < 1 и в области высоких частот ω > 1 вид функции один и тот же. Зависимость представляет собой прямую, которая пересекает ординату в точке с координатами lg ω = 0, L (ω) = 20 k / T и абсциссу в точке с координатами lg ω = lg (k / T), L(ω) = 0. Рис 3.5.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика от частоты не зависит.

Переходная функция – прямая с уравнением

.

L (ω) 0

lg ω

Рис. 3.5. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

интегрирующего звена

Характеристиками интегрирующего звена обладают так называемые интегральные регуляторы (сокращенно И - регуляторы). Их применение позволяет снизить ошибку регулирования.

Дата добавления: 2014-01-05