Переходная функция

Квадратичная функция.

Линейная функция.

Входных воздействий

Математические модели

x

t

В дифференциальном уравнении (2.1) правая часть есть сумма воздействующего на вход системы сигнала x (t) и его производных. В реальных условиях на вход системы воздействуют сигналы произвольного характера. То есть, математически они описываются произвольными зависимостями входной величины от времени.

Однако, в теоретических исследованиях принимают, что воздействия оказываются в виде единичного скачка, единичного импульса, гармонического колебания, сигнала постоянной скорости. Эти воздействия называют типовыми. Рис. 2.3. График

ступенчатой функции

Ступенчатая функция (единичный скачок). В момент t = 0 воздействиемгновенно достигает величины x = 1, далее со временем не меняется. График показан на рис. 2.3.

Единичную ступенчатую функцию записывают символом 1(t). Значения:

t < 0 1(t) = 0,

t = 0 1(t) = 1,

t > 0 1(t) = 1.

Если воздействие ступенчатое, но отличается от единичного в А раз, его обозначают А (1). А (1) = А 1(t).

Импульсная функция (единичный импульс). Это такой импульс величина которого равна бесконечности, длительность - нулю, а площадь – единице. В математике известен как дельта функция. Обозначается. Значения:

t < 0 δ(t) = 0,

t = 0 δ(t) = ∞,

t > 0 δ(t) = 0.

Единичный импульс есть производная от единичной ступенчатой функции:

Импульсную функцию можно трактовать как предел прямоугольного импульса, у которого высота стремится к ∞, а время его действия – к нулю.

Гармоническая функция. Это функция, изменяющаяся по закону синуса или косинуса.

Записывается либо как

либо как.

Величина воздействия колеблется между значениями A и - A.

Воздействие возрастает пропорционально времени.

.

Воздействие возрастает пропорционально квадрату времени.

С момента воздействия x (t) на вход системы, управляемая величина y (t) начинает изменяться. Процесс, происходящий в это время, называют переходным. Аналитическая зависимость y (t), описывающая переходной процесс, называется переходной функцией. Будет система управляться лучше или хуже – зависит от переходной функции.

Переходной процесс обуславливается внутренними свойствами системы и видом воздействия. Чтобы иметь возможность сравнивать переходные процессы разных систем, принято оказывать воздействие в виде единичной ступенчатой функции при нулевых начальных условиях. Переходную функцию обозначают h (t).

Первую производную от переходной функции называют весовой функцией и обозначают w (t).

Переходные функции подразделяются на три вида в зависимости от того, как ведет себя производная.

1. Монотонные. Первая производная не меняет знак: dh / dt либо > 0, либо < 0. Пример на рис. 2.4.

2. Колебательные. dh / dt регулярно меняет плюс на минус и наоборот. Пример на рис. 2.5.

3. Апериодические. dh / dt меняет знак один раз. Пример на рис. 2.6.

h (t)

t

Рис. 2.4. Монотонно меняющиеся кривые

t

h (t)

Рис. 2.5. Затухающие колебания

h (t)

t

Рис. 2.6. Апериодические кривые

Все функции могут быть получены как решение одного дифференциального уравнения при разном значении его коэффициентов или, что все равно, при разном значении коэффициентов характеристического уравнения. Решение характеристического уравнения общего вида (2.7) дает n корней (комплексных, действительных, мнимых). Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения есть сумма n экспонент,

,

где С_i – постоянные интегрирования, p_i – корни характеристического уравнения. Действительные корни, p = ± σ, обеспечивают неограниченный рост или уменьшение до нуля соответствующих экспонент. Комплексные корни, p = ± σ ± j ω, обеспечивают возрастающие или затухающие колебания. Экспоненты с чисто мнимыми корнями, p = ± j ω, обеспечивают гармонические колебания (колебания с постоянной амплитудой).

В зависимости от коэффициентов, количество тех или иных видов корней будет меняться, что и обеспечивает тот или иной вид кривых переходного процесса.

Аналитическое выражение кривой переходного процесса можно получить двумя путями. Первый – непосредственное решение дифференциального уравнения, описывающего систему. Надо положить величину входного воздействия x = 1 и выполнить нулевые начальные условия. Второй – на основе операторного уравнения. Надо ввести в него изображение единичного ступенчатого воздействия и выполнить обратное преобразование Лапласа.

В некоторых системах автоматического управления важную роль играют импульсные переходные функции. Их получают, подавая на вход системы единичный импульс. Импульсная переходная функция отличается от «ступенчатой», поскольку как было сказано выше, импульсная функция есть производная от ступенчатой:

.

Дата добавления: 2014-01-05