КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Свойство точной верхней (нижней) грани
Как бы ни было мало число , найдется такое, что и : , .
J Пример 3.3. Рассмотрим множество , , то есть X ограничено. (3.1), (3.2). Докажем положения (3.1) и (3.2). 1) Докажем, что число 1 является точной верхней гранью множества Х. Для этого, согласно свойству точной верхней грани, надо показать, что для любого найдётся натуральное число n такое, что выполняется неравенство . Этим числом является , т.к. . Это верно для любого . Доказано, что . 2) Докажем теперь, что число 0 является точной нижней гранью множества Х. Для этого проверим, будет ли для любого выполняться неравенство или . Получаем . Взяв какое-нибудь натуральное число , получим требуемое неравенство. Согласно свойству точной нижней грани . Заметим, что данному множеству Х точная грань 1 принадлежит и является его наибольшим числом, а точная нижняя грань 0 не принадлежит, и в этом множестве нет наименьшего числа. J
Определение 3.4. Число называется точной верхней гранью ограниченного сверху множества X, если: 1) , 2) . Определение 3.5. Число называется точной нижней гранью ограниченного снизу множества X, если: 1) , 2) .
Существование у любого ограниченного сверху (снизу) множества Х точной верхней (нижней) грани не является очевидным и требует доказательства.
♦ Теорема 3.1. Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число (число ), которое является точной верхней (точной нижней) гранью этого множества. Доказательство. Докажем существование точной верхней грани. Пусть Х ограничено сверху: (3.3). Возможны два случая: 1°. В множестве Х есть хотя бы одно неотрицательное вещественное число. 2°. Все х являются отрицательными вещественными числами. Рассмотрим случай 1°. Будем рассматривать лишь неотрицательные вещественные числа . В силу (3.3) все целые части чисел x не превосходят М, а поэтому найдётся наибольшая из целых частей, которую мы обозначим через . Сохраним среди неотрицательных чисел множества те, у которых целая часть равна и отбросим все остальные числа. В получившимся множестве рассмотрим первые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим и образуем множество . Продолжая аналогичные рассуждения, получим десятичные знаки некоторого вещественного числа . Докажем, что , построенное таким образом, является . Для этого достаточно доказать два утверждения: 1) , 2) . Доказательство 1). , следовательно удовлетворяет условию . Пусть – любое неотрицательное число, входящее в . По определению числа : . Отсюда: либо , тогда 1) доказано, либо , откуда, в свою очередь: либо доказано, либо … Продолжая аналогичные рассуждения мы либо докажем неравенство , либо получаем бесконечную цепочку равенств , , ,..., ,..., из которой вытекает . То есть 1) доказано. Доказательство 2). Пусть – произвольное вещественное число, меньшее (будем считать неотрицательным, т.к. для отрицательного числа неравенство справедливо для ). По предположению , следовательно , , …, , . С другой стороны, по построению всегда найдётся число : , , …, , но тогда . Существование точной верхней грани для случая 1° доказано. Перейдём к случаю 2°. Все x представлены в виде отрицательных бесконечных десятичных дробей. Обозначим через наименьшую из целых частей этих дробей; через наименьший из первых десятичных знаков для дробей с целой частью и т.д. Определим таким образом отрицательное вещественное число . Аналогично случаю 1° доказывается, что . ■
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 3669; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |