Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свойство точной верхней (нижней) грани




 

Как бы ни было мало число , найдется такое, что и :

,

.

 

J Пример 3.3. Рассмотрим множество , , то есть X ограничено.

(3.1),

(3.2).

Докажем положения (3.1) и (3.2).

1) Докажем, что число 1 является точной верхней гранью множества Х. Для этого, согласно свойству точной верхней грани, надо показать, что для любого найдётся натуральное число n такое, что выполняется неравенство . Этим числом является , т.к. . Это верно для любого . Доказано, что .

2) Докажем теперь, что число 0 является точной нижней гранью множества Х. Для этого проверим, будет ли для любого выполняться неравенство или . Получаем . Взяв какое-нибудь натуральное число , получим требуемое неравенство. Согласно свойству точной нижней грани .

Заметим, что данному множеству Х точная грань 1 принадлежит и является его наибольшим числом, а точная нижняя грань 0 не принадлежит, и в этом множестве нет наименьшего числа. J

 

Определение 3.4. Число называется точной верхней гранью ограниченного сверху множества X, если:

1) ,

2) .

Определение 3.5. Число называется точной нижней гранью ограниченного снизу множества X, если:

1) ,

2) .

 

Существование у любого ограниченного сверху (снизу) множества Х точной верхней (нижней) грани не является очевидным и требует доказательства.

 

♦ Теорема 3.1. Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число (число ), которое является точной верхней (точной нижней) гранью этого множества.

Доказательство. Докажем существование точной верхней грани.

Пусть Х ограничено сверху:

(3.3).

Возможны два случая:

1°. В множестве Х есть хотя бы одно неотрицательное вещественное число.

2°. Все х являются отрицательными вещественными числами.

Рассмотрим случай 1°.

Будем рассматривать лишь неотрицательные вещественные числа .

В силу (3.3) все целые части чисел x не превосходят М, а поэтому найдётся наибольшая из целых частей, которую мы обозначим через . Сохраним среди неотрицательных чисел множества те, у которых целая часть равна и отбросим все остальные числа.

В получившимся множестве рассмотрим первые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим и образуем множество . Продолжая аналогичные рассуждения, получим десятичные знаки некоторого вещественного числа .

Докажем, что , построенное таким образом, является .

Для этого достаточно доказать два утверждения:

1) ,

2) .

Доказательство 1). , следовательно удовлетворяет условию . Пусть – любое неотрицательное число, входящее в . По определению числа : . Отсюда:

либо , тогда 1) доказано,

либо , откуда, в свою очередь:

либо доказано,

либо

Продолжая аналогичные рассуждения мы либо докажем неравенство , либо получаем бесконечную цепочку равенств , , ,..., ,..., из которой вытекает . То есть 1) доказано.

Доказательство 2). Пусть – произвольное вещественное число, меньшее (будем считать неотрицательным, т.к. для отрицательного числа неравенство справедливо для ).

По предположению , следовательно , , …, , .

С другой стороны, по построению всегда найдётся число : , , …, , но тогда .

Существование точной верхней грани для случая 1° доказано.

Перейдём к случаю 2°. Все x представлены в виде отрицательных бесконечных десятичных дробей. Обозначим через наименьшую из целых частей этих дробей; через наименьший из первых десятичных знаков для дробей с целой частью и т.д. Определим таким образом отрицательное вещественное число . Аналогично случаю 1° доказывается, что . ■

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 3597; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.