Свойства вещественных чисел

Определение 3.6. Суммой вещественных чисел а и b назовём такое вещественное число х, которое удовлетворяет неравенствам:

,

где , , , – рациональные числа, которые приближают вещественные числа а и b: ; .

Число х, являющееся суммой а и b, существует и единственно: .

Определение 3.7. 1) Произведением положительных вещественных чисел а и b назовём вещественное число x, удовлетворяющее неравенствам:

,

где , , , - любые положительные рациональные числа, которые приближают вещественные числа а и b: ; .

2) Произведение вещественных чисел любого знака определяется по правилу:

а) ,

б)

Все свойства рациональных чисел справедливы для вещественных чисел (доказаны ранее в определениях и леммах). Также для вещественных чисел сохраняют свою силу все правила алгебры, относящиеся к арифметическим действиям и сочетанию равенств и неравенств.

Рассмотрим некоторые конкретные множества вещественных чисел (подмножества R).

1°. Сегмент ; а, b – граничные точки или концы сегмента , – внутренняя точка сегмента .

2°. Интервал .

3°. Интервал , где , будем называть ε -окрестностью точки а.

4°. Любой интервал, содержащий точку а, будем называть окрестностью точки а.

5°. Полусегмент или .

6°. Множество всех вещественных чисел будем называть числовой (бесконечной) прямой и обозначать символом .

7°. Полупрямая или .

8°. Открытая полупрямая или .

Определение 3.8. Произвольное множество будем называть плотным в себе, если в любой окрестности каждой точки х этого множества содержится хотя бы одна точка, отличная от х.

J Примером плотного в себе множества является любое из множеств 1°-8°, а также множество всех рациональных чисел, входящих в состав любого из множеств 1°-8°. J

Дата добавления: 2014-01-05