Розрахунок складних електричних кіл методом рівнянь Кірхгофа

Розрахунок складних електричних кіл даним методом полягає в складанні рівнянь за І-м та ІІ-м законами Кірхгофа для вузлів та контурів електричного кола.

Загальне число рівнянь повинно бути рівним числу невідомих струмів, тобто числу гілок електричного кола p. При цьому рівняння повинні бути алгебраїчно незалежними.

За І-м законом Кірхгофа складається q-1 рівнянь (q -е рівняння є наслідком попередніх q-1 рівнянь і, отже, являється залежним).

Вузли, відносно яких складаються незалежні рівняння за І-м законом Кірхгофа, називаються незалежними. В електричному колі, що має q вузлів, будь-які q-1 вузли являються незалежними, а останній, що залишився – залежним.

За ІІ-м законом Кірхгофа складаються решта рівнянь для незалежних контурів, кількість яких можна визначити за формулою: n=p-(q-1),

де p – число гілок;

q – число вузлів;

n – число незалежних контурів.

Незалежним контуром називається контур електричного кола, що відрізняється від інших контурів хоча б однією гілкою.

Для забезпечення незалежності рівнянь, складених за ІІ законом Кірхгофа, необхідно, щоб вони відповідали незалежним контурам, якими є елементарні контури.

Елементарним називається контур, що не містить внутрішніх гілок. На рис. 1.12 контури І та ІІ ‑ елементарні контури.

Розглянемо послідовність розрахунку складного кола методом рівнянь Кірхгофа на конкретному прикладі (рис.1.13).

Виконаємо аналіз схеми: p=6; q=4.

Отже, за І-м законом Кірхгофа необхідно скласти q-1 = 3 рівнянь, а за
ІІ-м – решту n=p-(q-1)=3 рівнянь.

Складемо рівняння за І-м законом Кірхгофа, для цього довільно задамося напрямами струмів в гілках:

1 вузол: І₁+І₂+І₆ =0;

2 вузол: -І₁-І₃-І₄ =0;

3 вузол: І₃-І₅-І₂ =0.

Якщо скласти рівняння для четвертого вузла, то воно виявиться наслідком трьох попередніх і може бути одержане складанням записаних трьох рівнянь.

Складемо рівняння за ІІ-м законом Кірхгофа, для цього виберемо три незалежних контури і довільно задамося напрямом обходу:

І контур: R₁ I₁-R₆ I₆-R₄ I₄=E₁-E₄;

ІІ контур: R₄ I₄-R₅ I₅-R₃ I₃=E₄-E₃;

ІІІ контур: R₆ I₆-R₂ I₂+R₅ I₅=-E₂.

Якщо скласти рівняння для четвертого (зовнішнього) контуру, то воно буде залежним, так як в четвертому контурі немає нових гілок.

Розв’язавши цю систему з 6-ти рівнянь визначимо 6 невідомих струмів.

Якщо при розрахунку виявиться, що струм має від’ємне значення, то це означає, що його дійсний напрям протилежний вибраному.

Знаючи струми в гілках можна за законом Ома визначити спади напруг на елементах кола.

Якщо електричне коло окрім джерел ЕРС містить ще й джерела струму, струми яких являються заданими величинами, то в цьому випадку число незалежних рівнянь для визначення невідомих струмів дорівнює p - n_J, де n_J – число гілок з ідеальними джерелами струму.

Тоді за ІІ законом Кірхгофа необхідно скласти n=p-(q-1)-n_J незалежних рівнянь. При цьому необхідно враховувати, що незалежні контури, для яких складаються рівняння за ІІ законом Кірхгофа не повинні містити гілки з ідеальними джерелами струму.

Розглянемо електричне коло (рис. 1.14).

Проведемо аналіз кола: p=7; q=4; n_J =2.

За І-м законом Кірхгофа складемо q-1 = 3 рівнянь:

1 вузол: -J₇+І₁-І₄+J₆ =0;

2 вузол: J₇-І₁-І₂+І₃ =0;

3 вузол: І₂+І₄-І₅ =0.

За ІІ-м законом Кірхгофа складемо n=p-(q-1)-n_J =7-3-2=2 рівнянь для ІІ та ІІІ контурів, в які не входять ідеальні джерела струму:

ІІ контур: I₁ R₁+I₄ R₄=E₂;

ІІІ контур: I₃ R₃+I₅ R₅=E₃-E₂.

Недоліком методу рівнянь Кірхгофа є його складність, так як необхідно розв’язувати систему р рівнянь.

Правильність розрахунку електричних кіл перевіряється за допомогою рівняння балансу потужностей.

Дата добавления: 2014-01-05