Розрахунок складних електричних кіл методом контурних струмів

Баланс потужностей

Правильність розрахунку електричних кіл перевіряється за допомогою рівняння балансу потужностей: «Алгебраїчна сума потужностей, що віддаються джерелами електричної енергії, дорівнює арифметичній сумі потужностей, що споживаються приймачами»

ΣР_д=ΣР_п, або ΣЕ_к І_к=ΣІ_к² R_к.

Добуток Е_к І_к береться з додатнім знаком, якщо напрямки ЕРС та струму в гілці співпадають, тобто джерело віддає енергію в коло. Добуток Е_кІ_к береться з від’ємним знаком, якщо напрямки ЕРС та струму в гілці протилежні, тобто джерело споживає енергію.

Якщо в електричному колі крім джерел ЕРС є ще й джерела струму, то рівняння балансу потужностей запишеться в такому вигляді:

Σ(Е_к І_к+U_Jk J_к)=ΣІ_к² R_к,

де U_Jk J_к=Р_Jk – потужність к -го джерела струму.

Добуток U_Jk J_к береться з додатнім знаком, якщо напрямки струму та напруги джерела струму протилежні.

Добуток U_Jk J_к береться з від’ємним знаком, якщо напрямки струму та напруги джерела струму співпадають.

Метод контурних струмів являється одним з основних методів розрахунку лінійних кіл постійного струму.

Метод оснований на застосуванні ІІ закону Кірхгофа і дозволяє скоротити число розв’язуваних рівнянь.

В цьому випадку необхідно скласти стільки рівнянь, скільки незалежних контурів є в розглянутому колі, тобто n=p-(q-1) рівнянь.

При цьому рівняння складається для контурних струмів.

Контурним струмом називається умовний розрахунковий струм, що протікає через всі елементи тільки даного контуру.

Контурні струми позначаються на схемах вигнутими стрілками, а індекси позначаються римськими цифрами.

Розглянемо розрахунок складного електричного кола методом контурних струмів на конкретному прикладі.(рис. 2.15).

Проведемо аналіз схеми: p =6; q =4; n=p-(q-1) =3.

Отже, необхідно скласти 3 контурних рівнянь.

Виберемо незалежні контури, задамо напрямки контурних струмів І_І, І_ІІ та І_ІІІ, а також напрямки струмів в гілках І₁,...,І₆.

Складемо за ІІ законом Кірхгофа систему рівнянь для контурних струмів, так звані контурні рівняння. При цьому напрямки обходу контурів визначаються напрямком контурних струмів:

I₁(R₁+R₄+R₆)-I_II R₆-I_III R₄=E₁+E₄;

-I₁ R₆+I_II (R₂+R₅+R₆)-I_III R₅=E₅-E₂;

-I_I R₄-I_II R₅+I_III (R₃+R₄+R₅)=E₃-E₅-E₄.

Введемо наступні поняття.

Власний опір контуру – це сума опорів всіх елементів, що входять до даного контуру. Будемо позначати його R_mm:

R₁₁=R₁+R₄+R₆ – власний опір контуру І;

R₂₂=R₂+R₅+R₆ – власний опір контуру ІІ;

R₃₃=R₃+R₄+R₅ ‑ власний опір контуру ІІІ.

Взаємний опір контуру – це опір, що належить двом суміжним контурам. Будемо позначати його R_mn:

R₁₂=R₂₁=R₆ – взаємний опір І та ІІ контурів;

R₁₃=R₃₁=R₄ – взаємний опір І та ІІІ контурів;

R₂₃=R₃₂=R₅ – взаємний опір ІІ та ІІІ контурів.

Контурна ЕРС – це алгебраїчна сума ЕРС, що входять в даний контур.

E_I=E₁+E₄ – контурна ЕРС контуру І;

E_II=E₅-E₂ – контурна ЕРС контуру ІІ;

E_III=E₃-E₅-E₄ – контурна ЕРС контуру ІІІ.

Тоді контурні рівняння можна переписати в такому вигляді:

I_I R₁₁-I_II R₁₂-I_III R₁₃=E_I;

-I_I R₂₁+I_II R₂₂-I_III R₂₃=E_II;

I_I R₃₁-I_II R₃₂+I_III R₃₃=E_III.

Розв’язавши дану систему трьох рівнянь з трьома невідомими, визначимо контурні струми I_I, I_II, I_III.

На основі контурних струмів визначаємо дійсні струми в гілках електричного кола. При цьому необхідно врахувати наступні правила.

1. В гілці, яка входить лише в один контур, дійсний струм дорівнює контурному струму.

I₁=I_I; I₂= -I_II; I₃=I_III.

2. В гілці, що належить двом суміжним контурам, дійсний струм дорівнює алгебраїчній сумі контурних струмів:

I₄=I_I -I_III; I₅=I_II -I_III; I₆=I_II -I_I.

Правильність розрахунку електричного кола перевіряється за допомогою рівнянь балансу потужностей:

ΣE_кI_к=ΣI_к²R_к.

Для нашого випадку одержимо:

E₁ I₁+E₂ I₂+E₃ I₃+E₄ I₄+E₅ I₅=I₁²R₁+I₂²R₂+I₃²R₃+I₄²R₄+I₅²R₅+I₆²R₆.

Якщо в електричному колі є вітки з джерелами струму, то число контурних рівнянь можна зменшити на число цих віток. При цьому незалежні контури вибираються так, щоб кожна вітка з джерелом струму входила тільки в один контур. Тоді контурний струм в них буде дорівнювати струму джерела струму (див. задачу № 6).

Дата добавления: 2014-01-05