Расположение прямых

Уравнения прямой в пространстве. Взаимное

Пусть L – прямая, для которой необходимо составить уравнения, – произвольная точка этой прямой.

1. Если известны координаты направляющего вектора прямой L и некоторой фиксированной ее точки то уравнение

(15.12)

где – радиус-вектор точки – радиус-вектор произвольной точки, называется векторно-параметрическим уравнением прямой L. В координатной форме уравнение (15.12) равносильно трем параметрическим уравнениям:

(15.13)

Система (15.13) определяет параметрические уравнения прямой L.

По исходной информации получаем также канонические уравнения прямой L:

(15.14)

2. Пусть известны две точки и лежащие на прямой L. Тогда векторы коллинеарны, и можно записать уравнения прямой, проходящей через две точки:

(15.15)

3. В пространстве прямую можно задать как линию пересечения двух плоскостей:

(15.16)

В уравнениях плоскостей (15.16) коэффициенты при переменных не являются пропорциональными (иначе плоскости либо параллельны, либо совпадают).

О взаимном расположении двух прямых в пространстве можно судить по их направляющим векторам.

Угол между прямыми можно определить через косинус угла между направляющими векторами.

Прямые параллельны при условии коллинеарности их направляющих векторов (координаты пропорциональны).

Угол между прямыми прямой при условии перпендикулярности их направляющих векторов (скалярное произведение равно 0).

Прямые лежат в одной плоскости при условии компланарности их направляющих векторов и вектора где М ₁ и М ₂ – точки этих прямых (смешанное произведение равно 0).

Расстояние от точки М ₀ до прямой L вычисляется по формуле

(15.17)

где – направляющий вектор; М ₁ – точка прямой.

Эту формулу можно использовать и для нахождения расстояния между параллельными прямыми.

Если прямые L ₁ и L ₂ являются скрещивающимися, то расстояние между ними определяют по формуле

(15.18)

где и – радиус-векторы точек и принадлежащих прямым L ₁ и L ₂ соответственно, а векторы и – направляющие векторы этих прямых.

Задания

Дата добавления: 2014-01-06