Плоскость в пространстве

В пространстве

Аналитическая геометрия

Пусть P – плоскость, для которой требуется построить уравнение, – произвольная точка этой плоскости.

1. Если задана точка плоскости Р и два неколлинеарных вектора и параллельных данной плоскости, то справедливо векторно-парамет­рическое уравнение плоскости P

(15.1)

где – радиус-вектор точки

Запись уравнения (15.1) в координатной форме

(15.2)

называется параметрическими уравнениями плоскости.

Кроме того, исходные данные позволяют записать уравнение плоскости Р и с помощью определителя

(15.3)

2. Если известны три точки плоскости P, не лежащие на одной прямой, то аналогично (15.3) можно построить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки,

(15.4)

3. Если известны точки пересечения плоскости P с координатными осями, т. е. M ₀(a, 0, 0), M ₁(0, b, 0), M ₂(0, 0, c), то справедливо уравнение плоскости «в отрезках»

(15.5)

4. Если задан нормальный вектор и точка плоскости Р, то справедливо уравнение

(15.6)

на основании которого выводится общее уравнение плоскости P

где

5. В качестве нормального вектора плоскости P можно взять единичный вектор направленный из начала координат в сторону плоскости, т. е. где Тогда справедливо нормальное уравнение плоскости

(15.7)

где – расстояние от начала координат до плоскости.

Величина

(15.8)

называется отклонением точки М ₀ от плоскости Р. При этом: если М ₀ и O (0, 0, 0) лежат по одну сторону от плоскости; – если лежат по разные стороны; если Расстояние от точки М ₀ до плоскости Р равно абсолютному значению ее отклонения, т. е.

От общего уравнения плоскости к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель

(15.9)

Расстояние от точки до плоскости Р, заданной общим уравнением может быть найдено по формуле

(15.10)

Угол j между плоскостями в пространстве определяется по косинусу угла между нормальными векторами и этих плоскостей:

(15.11)

Задания

Дата добавления: 2014-01-06