Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества

Способы задания множеств

Понятие множества мы используем без определения. Но как узнать, является та или иная совокупность множеством или не является?

Считают, что множество определяется своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

1. Множество можно задать, перечислив все его элементы. Запись: А = {3, 4, 5, 6.

2. Если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. В таких случаях указывают характеристическое свойств о его элементов.

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Например: А = {х׀ х – двузначные числа}

Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными соседними сторонами и как множество ромбов с прямыми углами.

Очень важно умение переходить от одного способа задания множества к другому.

В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например, нам известно, что все натуральные числа являются целыми. Понятие множества позволяет обобщить конкретные случаи взаимосвязи между различными совокупностями, позволяет посмотреть на них с единой точки зрения.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.

Например, если А ={a, b, c, d, e}, В = {b, d, k, m}, С = {х, у, z}, то можно утверждать, что множества А и В пересекаются, а множества А и С, В и С не пересекаются.

Рассмотрим множества А ={a, b, c, d, e} и В = {с, d, е}. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А или что множество В является подмножеством А и пишут: В⊂А.

Определение: Множество В является подмножеством А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.

Верно: ∅⊂А и А ⊂А. В этом случае множества ∅ и А называют несобственными.

Образуем, например, все подмножества множества А = {2, 3, 4}. Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3},{4}, двухэлементные {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, а также само множество А и пустое множество ∅. Таким образом, данной трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.

Доказано, что если множество содержит n элементов, то у него 2ⁿ различных подмножеств.

Если рассматриваются подмножества одного и того же множества U, то в этом случае U называют универсальным. Так множество четырехугольников универсально для множества ромбов, квадратов, трапеций, прямоугольников, параллелограммов.

Определение. Множества А и В называются равными, если А⊂В и В⊂А.

Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов множества не существен.

Отношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. Возможны следующие отношения между двумя множествами:

А В А В А=В А В

а) б) в) г) д)

Пересекаются - а); В⊂А - б), А⊂В - в), А = В - г), А и В не пересекаются

Понятие подмножества является обобщением понятия части и целого, которые осваивают младшие школьники, выполняя разные задания. Например: «Назови среди данных чисел четные», «Среди данных четырехугольников найди прямоугольники».

Дата добавления: 2014-01-06