Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального

Лекция 3. Операции с множествами

Свойства пересечения и объединения множеств

Из школьного курса математики известно, что операция, при помощи которой находят сумму чисел, называется сложением. Над числами выполняются и другие операции, например, умножение, вычитание, деление; при этом результаты называют произведением, разностью, частным соответственно. Для операций и результатов выполнения этих операций существуют разные термины. Для рассмотренных операций над множествами и сама операция, и ее результат носят одно название.

Из школьного курса математики нам известно, что операции над числами обладают рядом свойств. Например, сложение действительных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: для любых действительных чисел а и b справедливо равенство а + b = b + а, а для любых чисел а, b и с справедливо равенство (а + b) + с = а + (b + с).

Перечислим другие свойства:

а • b = b • а; (а • b) • с = а • (b • с); (а + b) • с = а • с + b • с.

Выясним, обладают ли «похожими» свойствами пересечение и объединение множеств.

Доказано, что операции над множествами обладают следующими свойствами:

1) А ∩ В = В ∩ А и А ∪ В = В ∪ А – коммутативное свойство для операций пересечения и объединения.

2) (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) и (А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С) ассоциативное свойство для операций пересечения и объединения.

3) (А ∪ В) ∩ С = (А ∩ С) ∪ (В ∩ С)– пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств и

4) (А ∩ В) ∪ С = (А ∪ С) ∩ (В ∪ С) – объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств.

Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств, и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.

Убедиться в справедливости сформулированных свойств можно путем доказательства, а также проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.

Заметим, что 1-3 свойства имеют аналоги во множестве действительных чисел, над которыми производят действия сложения и умножения. А вот аналога четвертому свойству нет. Действительно, равенство а • b + с = (а + b) •(b + с) – неверное.

Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств:

А₁∩А₂∩…∩Аn = {х/х ∈ А₁ и х ∈ А₂ и … и х ∈Аn},

А₁∪А₂∪…∪Аn = {х/х ∈ А₁ или х ∈ А₂ или… или х ∈Аn}.

Аналогично можно поступить и по отношению к рассмотренным свойствам данных операций.

План:

1. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального

2. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств.

3. Декартово произведение множеств

Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следующим образом.

Определение. Разностью множеств А и В называют множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А \ В. По определению: А \ В ={х/х∈А и х∉В}.

В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств А \ В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В´А, а наглядно изображают так:

Определение: Пусть В ⊂ А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

По определению: В´А ={х/х∈А и х∉В}.

Выясним, как находить дополнение подмножества на конкретных примерах.

Если элементы множеств А и В перечислены и В ⊂ А, достаточно перечислить элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В. Например, А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {2, 4}, то В´А = {1, 3, 5}.

В том случае, когда указаны характеристические свойства элементов множеств А и В и известно, что В ⊂ А, то множество В´А задают также с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х∈А и х∉В». Так, если А – множество четных чисел, а В – множество кратных 4 чисел, то В´А - это множество, содержащее такие четные числа, которые не делятся на 4. Например, 22 ∈ В´А.

Вычитание – это третья операция над множествами. Условились считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание. Что касается вычитания и объединения, то их считают равноправными.

Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности можно доказать, что для любых множеств А, В и С справедливы следующие равенства:

1) (А \ В) \ С = (А \ С) \ В);

2) (А ∪ В) \ С = (А \ С) ∪ (В \ С);

3) (А \ В) ∩ С = (А ∩ С) \ (В ∩ С);

4) А \ (В ∪ С) = (А \ В) ∩ (А \ С);

5) А \ (В ∩ С) = (А \ В) ∪ (А \ С).

Дата добавления: 2014-01-06