Распределение Больцмана

Распределению (3.6) можно придать несколько иной вид. Вероятность обнаружить молекулу в слое толщиной dz на высоте z определяется долей dW (z) таких молекул от общего числа:

dW (z) = dN (z)/ N = n (z) Sdz / N = 1/ Z exp(– U (z)/ kT) Sdz, (3.11)

где U (z) – потенциальная энергия молекулы во внешнем поле; Z = N/n (0) – нормировочный множитель. В произвольной системе координат распределение (3.11) будет иметь вид

(3.12)

где – элемент объема пространства. Напомним, что в декартовой системе координат

в сферической

в цилиндрической

Формула (3.12) может использоваться для произвольного типа взаимодействия (то есть не обязательно гравитационного) и для любого вида пространственной зависимости потенциальной энергии (то есть не обязательно приводящей к однородному внешнему полю). Действительно, для использованного при выводе (3.12) условия механического равновесия (3.4) характер взаимодействия не важен, а для любого неоднородного поля можно рассмотреть такой малый объем газа, в котором это поле является однородным. Единственным ограничением является консервативный характер действующих сил – то есть данное рассмотрение применимо только к случаю таких сил, для которых их работа при движению по замкнутому контуру равняется нулю. Действительно, только для таких сил можно ввести потенциальную энергию, которая зависит только от положения в пространстве.

Распределение (3.12) называется распределением Больцмана. Нормировочная постоянная в (3.12) Z находится из условия, что полная вероятность обнаружить молекулу равна единице, т.е.

(3.13)

Дата добавления: 2014-01-07