Вывод распределения Максвелла из распределения Больцмана

Рассмотрим столб газа, находящийся в поле тяжести с ускорением g, при постоянной температуре Т (см. рис. 3.2). Вертикальную координату обозначим за z. Будем считать, что на высоте z = 0 (это необязательно дно сосуда), установилось некоторое распределение вертикальных скоростей молекул v_z, которое обозначим как (см. рис. 3.3).

Эта функция имеет следующий смысл: произведение означает долю молекул, имеющих вертикальную скорость в малом интервале от до причем интеграл

(3.14)

т. е. сумма всех долей равна единице.

рис. 3.2	рис. 3.3

будем также считать, что молекулы, стартующие с плоскости z = 0, летят вверх (если v_z > 0), не испытывая столкновений. Однако до высоты z = h смогут долететь не все молекулы, а только те, у которых достаточен запас кинетической энергии, Обозначим за u минимальную скорость, с которой молекулы могут достичь высоты h, она определяется из равенства Так как в единицу времени число молекул, стартующих с плоскости z = 0 cо скоростью в интервале от до определяется соотношением где n (0) – плотность молекул при z = 0, то для плотности при z = h имеем

(3.15)

С другой стороны, для отношения плотностей из соотношения Больцмана имеем

(3.16)

Приравнивая правые части (3.15) и (3.16), получим

Дифференцируя обе части этого соотношения по u, получим

(определенный интеграл в правой части просто константа).

Применим к полученному соотношению условие нормировки (3.14). При интегрировании по u возникает известный интеграл Пуассона. Имеем

(3.17)

В итоге получим

или, записывая для вероятности иметь скорость в интервале от до

(3.18)

что совпадает с полученным ранее совсем из других соображений распределением скоростей (2.19). Отметим, что подстановка (3.18) в интеграл (3.17) приводит к правильному ответу. Это говорит о внутренней согласованности использованного подхода.

Сделанное предположение об отсутствии столкновений при полете молекулы не имеет принципиального характера – мы могли рассматривать бесконечно малые высоты h, для которых это предположение выполнялось бы. При этом экспоненциальный характер зависимости от h позволяет рассматривать задачу последовательно с малыми приращениями h, а все результаты перемножать.

Данный вывод намного проще и физически прозрачней, чем проделанный в п. 2.1. Однако он выглядит несколько искусственным – нам потребовалось введение поля сил тяжести. Очевидно, что распределение скоростей существует и без него. Но здесь важно отметить, что силовые характеристики поля (ускорение g) и потенциальная энергия mgh в окончательный ответ (3.18) не входят. Это означает, что наличие силового поля, вообще говоря, непринципиально – например, оно может быть сколь угодно слабым.

Отмеченная непринципиальность наличия силового поля вдоль оси z позволяет утверждать, что и вдоль перпендикулярных к ней осей x и у распределение скоростей молекул будет аналогичным (3.18). В итоге мы придем к распределению по векторам скоростей вида (2.10).

Дата добавления: 2014-01-07