Уравнение Шредингера

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВОЛНОВОГО ДВИЖЕНИЯ

Отвлечемся временно от описания строения атомов, чтобы познакомиться с математическим описанием волнового движения. Рассмотрим волну, изображенную на рисунке, которая с

течением времени передвигается вдоль оси х в направлении, указанном стрелкой. Это волновое движение можно описать количественно с помощью дифференциального уравнения

= () (),

где А — амплитуда, т. е. высота волны, измеряемая по оси у при данном расстоянии х; с — скорость, с которой передвигается волна, a t — время. Решением этого дифференциального уравнения является функция

A==аsin2p(х/l—nt).

где l — длина волны, n—ee частота и а—постоянная. Из уравнения можно найти амплитуду А во время t в положении х.

Другой тип волнового движения — стоячая волна — возникает при колебаниях струны с закрепленными концами. Стоячей волне отвечает стационарная картина с фиксированным профилем (вместо перемещающегося вдоль оси х, как в случае волны, изображенной ранее). Эмпирическим.путем

было найдено, что такая модель, обобщенная на случай трехмерной волны, лучше описывает поведение электрона, связанного с ядром. Дифференциальное уравнение, описывающее такую одномерную стоячую волну, имеет следующее решение:

A==2asin(2pх/l)cos2pnt,

или более просто

A=f(x)cos2pnt,

где f(x) — сокращенная запись для 2a sin(2px/l) — функция только координаты х.

Вторая производная функция по времени, будучи подставленной в уравнение, позволяет исключить величину t.

= -2a sin(2p) sin2pnt×2pn

= -2a sin(2p) cos2pnt×4p²n²

= -A4p²n² n=

= -A = c²

Получающееся уравнение для стоячей волны может быть обобщено для описания трехмерной волны:

+ + + 4p²y/l² == 0,

где y—трехмерный аналог величины А). Введя сокращенное обозначение,

+ + = Ѳ,

получаем

Ѳy+4p²y/l²=0.)

Уравнения являются дифференциальными уравнениями, описывающими стационарную трехмерную волну, и не содержат переменной t. Целью исключения этой переменной было получение уравнения, решения которого не зависят от времени.

Шрёдингер выбрал математическое описание стоячей волны в качестве модели для строения атома. Он включил в выражение для стоячей волны предположение де Бройля l=h/mJ и получил

Ѳy + (4p²m²J²/h²)y == 0.

Комбинируя уравнения с уравнением, связывающее полную энергию Е, потенциальную энергию V и кинетическую энергию mJ²/2.

Е = V + mJ²/2 или J² = 2 (Е — V)/m,

можно получить уравнение Шрёдингера в его обычной форме

Ѳy +(8p²m/h²)(E-V) y=0

Следует помнить, что уравнение Шредингера не выводится из более общих законов, а является следствием, во-первых, эмпирического выбора уравнения для стоячей волны в качестве модели для описания поведения -электрона в атоме и, во-вторых, включения в последнее гипотезы де Бройля. Обоснованием такого «вывода» является тот факт, что решение уравнения приводит к значениям энергии Е, точно соответствующим найденным экспериментально из атомных спектров

Остановимся на смысле символа y в уравнении Шредингера. Поскольку y является трехмерным аналогом А (амплитуды плоской волны), y рассматривается как амплитудная функция. Самой функции y нельзя приписать физический смысл, но такой смысл имеет величина yy*, которая, как можно показать, пропорциональна вероятности нахождения электрона в данном положении (y* — это функция, комплексно сопряженная с y). Величина yy^*dt передает вероятность нахождения электрона в элементе объема dt. Если y является действительной функцией, yy* переходит в y².

Дата добавления: 2014-01-07