Решение уравнения Шредингера. Рассмотрим теперь качественно метод, используемый для решения уравнения Шредингера для случая атома водорода

Рассмотрим теперь качественно метод, используемый для решения уравнения Шредингера для случая атома водорода. Первым шагом является упрощение решения путем преобразования уравнения от декартовых координат (оси х, у и z) к сферическим полярным координатам.

При преобразовании системы координат уравнение Шредингера переходит в уравнение

()()(r² ) + ()()(sinq) +

. +()() +)y = 0

Здесь m — приведенная масса ' m =,

где М— масса ядра, m—масса электрона.

Уравнение можно разделить на более простые уравнения, каждое из которых включает только одну переменную r, q или j и может быть решено независимо. Эти уравнения имеют бесконечное множество решений; но, для того чтобы решения имели смысл для описания поведения электрона в атоме, они должны удовлетворять изложенным ниже требованиям «а» — «в». Каждое возможное решение представляет собой волновую функцию y, описывающую орбиталь — состояние атома. Для выделения пригодных решений из бесконечного общего числа их нужно отобрать те, точки, что удовлетворяют следующим условиям:

а) волновая функция должна быть конечной и непрерывной т. е. она не должна обращаться в бесконечность ни при каких значениях r, q и j.

б) решение должно быть однозначным, т. е. в любой данной точке амплитуда может иметь только одно значение, а не несколько;

в) решения должны быть нормированы; это условие требует, чтобы взятый по всему пространству интеграл от функции (являющейся решением), возведенной в квадрат и умноженной на dt, был равен единице, т. е.

= 1

Поскольку y²dt связано с вероятностью нахождения электрона в элементе объема dt, интегрирование в уравнении просто требует, чтобы вероятность нахождения электрона где-либо в пространстве была равна единице.

Для неионизованного атома имеется лишь ограниченное число решений уравнения Шрёдингера, удовлетворяющих всем сформулированным выше требованиям. Такие дозволенные решения называются собственными функциями, и каждое из них описывает состояние — орбиталь, на которой в атоме могут находиться два электрона Орбитали отличаются нижними индексами при y; каждая орбиталь однозначно определяется набором квантовых чисел n,l и m, где n соответствует основному номеру оболочки Уравнения для y_np разделяются на радиальную часть y_r (зависящую от расстояния г) и угловую часть y_qj (являющуюся функцией углов q и j). Полная волновая функция представляет собой просто произведение этих двух частей, т. е. y=y_qjy_r.Выражения для s-орбиталей не включают никакой зависимости от углов, и поэтому они обладают сферической симметрией. Число решений указывает, сколько существует орбиталей с данной энергией (т. е. в данной оболочке с одним главным квантовым числом). Для орбитали, отвечающей оболочке с n=1 (т.е. оболочке с самой низшей энергией), возможно только одно решение y_1s. Для значений энергии, соответствующих n=2, имеются два очень близких энергетических уровня, соответствующих волновым функциям y_2s и y_2p. Есть только одно решение для y_2s и три решения для y_2p, соответствующие трем орбиталям y_2p0,y_2p+1,y_2p-1. Эти три 2р-орбитали имеют все одинаковую энергию. Для описания равенства энергий трех орбиталей используется термин «трижды вырожденные». Для энергий, отвечающих оболочке с п=3, имеется девять решений, соответствующих одной y_3s-орбитали, трем вырожденным y_3p-орбиталям и пяти вырожденным y_sd-орбиталям. Решений, которые отвечали бы орбиталям y_1p или y_2d, нет, и таких орбиталей нет. Таким образом, выбрав в качестве модели стоячую волну, включив в волновое уравнение гипотезу де Бройля и отобрав физически приемлемые решения получившегося уравнения, можно сосчитать число возможных орбиталей в атоме водорода.

Дата добавления: 2014-01-07