Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Некоторые дифференциальные уравнения удается решить, предварительно понизив их порядок. К классу таких дифференциальных уравнений относят так называемые неполные (отсутствуют либо х, либо у) дифференциальные уравнения вида:

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

1) Уравнения вида (45)

Решение этого уравнения находится n – кратным интегрированием. По определению производной имеем:

…, …, ….

.

Тогда уравнение (45) принимает вид:

откуда (46)

Уравнение (46) представляет собой уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции у^(n-1) c разделяющимися переменными, интегрируя которое, получаем:

где С₁ = const

где (47)

Полученное уравнение (47) – это уравнение (n – 1) – го порядка такого же типа, что и (45). Применив к уравнению (47) описанный выше метод понижения порядка, будем иметь:

;

;

; где С₂ = const

(48)

К уравнению (48) опять применим изложенный выше метод и так до тех пор, пока, постепенно понижая порядок, не дойдем до искомой функции у.

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

, (49)

удовлетворяющее начальным условиям: ;

;

. (50)

Решение. Разделив обе части уравнения (49) на х³ (в предположении, что х³ ≠ 0), получаем: (51)

Уравнение (51) представляет собой дифференциальное уравнение 3 – го порядка, относящееся к типу (45).

Сначала найдем его общее решение последовательным интегрированием (учитывая, что ).

где С₁ = const; С₁

;

;

, где;

;

;

где ;

. (52)

Формула (52) определяет общее решение уравнения (51). Для определения значений произвольных постоянных С₁, С₂, С₃, соответствующих искомому частному решению уравнения (49), воспользуемся начальными условиями (50):

Таким образом, имеем систему: , решая которую, находим: С₁ = -5, С₂ = 2, С₃ = 0.

Подставив найденные выше значения произвольных постоянных С₁, С₂, С₃ в общее решение (52), получаем искомое частное решение заданного уравнения (49):

Ответ: .

2. Уравнение вида (53)

Характерная особенность уравнения (53) заключается в том, что оно не содержит в явном виде искомую функцию у и ряд её низших производных.

Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц с помощью замены у^k = z (т.е. приняв за новую неизвестную функцию z (x) – низшую из производных данного уравнения). В результате (с учетом того, что из у^k = z (х) следует у^(k+1) = z^/(х),, у^(k+2) = (у^(k+1))^/ = (z^/(х))^/= z^||(х),…, y⁽ⁿ⁾ = y^(k+(n-k)) = z (х)^(n-k)) получаем уравнение (n – k) – го порядка: F (x, z, z^’, z^||,…z^(n-k)) = 0 (54)

Дата добавления: 2014-01-07