![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Пример. Являются ли функции линейно зависимыми на ?
Являются ли функции Решение. Составим линейную комбинацию из данных функций: Однако, решить вопрос о линейной зависимости или независимости функций на основании лишь данного выше определения возможно лишь в очень простых случаях. В общем случае этот вопрос решается следующей теоремой: Теорема. Если непрерывные и (n-1) раз дифференцируемые на некотором интервале функции
Доказательство. Составим равную нулю линейную комбинацию из n линейно зависимых функций и продифференцируем её (n-1) раз:
Для любого фиксированного Замечание. Если данные функции – линейно независимы на промежутке Отметим важное свойство решений ЛОДУ. Если функции Теорема. Общим решением ЛОДУ порядка n, удовлетворяющего условиям теоремы Коши, является линейная комбинация из n его линейно независимых на
Доказательство. Утверждение, что линейная комбинация (70) – решение ЛОДУ, вытекает из свойства 1) ЛОДУ (см. выше). Решение (70) будет общим, если оно содержит в себе все частные решения. Зададимся произвольными начальными условиями:
Система уравнений (71) относительно произвольных констант – линейная алгебраическая неоднородная. Её определитель совпадает с определителем Вронского, который отличен от нуля в силу отмеченного ранее свойства решений ЛОДУ. Следовательно, ранг системы равен числу неизвестных и решение у системы (71) – единственное, т. е. набор констант = единственный для любого набора начальных условий задачи Коши. Следствие. Максимальное число линейно независимых частных решений ЛОДУ порядка n, составляющих его общее решение, равно порядку уравнения, т. е. равно числу n. Легко показать, что если составить общее решение из (n+1)- ого частного решения то ранг системы, аналогичной системе (71), будет равен n и «лишний» (n+1) столбец войдёт в решение только для n констант Любые n линейно независимые решения ЛОДУ порядка n составляют его фундаментальную систему решений.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1067; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |