Производная обратной функции

Если для функции y=f(x) существует обратная функция х=φ(у), которая в некоторой точке у имеет производную φ′(у)≠0, то в соответствующей точке х функция f(x) тоже имеет производную, причем (3)

Доказательство. Так как φ(у) непрерывна, Δх→0 при Δу→0, и при переходе к пределу при Δу→0 получаем: .

Инвариантность формы дифференциала

Найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=φ(x), то есть y=f(φ(x)). Тогда следовательно, Но поэтому Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство называется свойством неизменности, или инвариантности, дифференциала.

Дата добавления: 2014-01-07