Гипербола

Определение 4.2. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Пусть F₁(-c,0) и F₂(c,0) ─ фокусы. Тогда F₁F₂ = 2c ─ фокусное расстояние (рис.4.4). Постоянную величину, о которой идёт речь в определении, обозначим 2a. Тогда по определению 2a < 2c, т.е. a < c.

Пусть M(x;y) ─ произвольная точка гиперболы. Рассуждая по аналогии с п. 4.1, можем получить уравнение

= 1, (2)

где b² = c² – a².

Уравнение (2) называют каноническим уравнением гиперболы. Гипербола с уравнением (2) изображена на рис.4.5.

Прямоугольник MNKL, стороны которого MN = LK = 2a, ML = NK = 2b, называется основным прямоугольником. Прямые MK и NL называют асимптотами гиперболы, их уравнения: y = –x и y = x, соответственно. Гипербола имеет две ветви: левую и правую. Центр симметрии гиперболы называется её центром. Оси симметрии гиперболы называются её осями. Одна ось пересекает гиперболу в двух точках (на рис.4.5 это т. A₁ и A₂), эта ось называется действительной осью гиперболы, другая ось ─ мнимой осью, она не имеет общих точек с гиперболой. Длины отрезков A₁A₂ и B₁B₂ также называют осями. Величины a и b называются полуосями гиперболы. Если a = b, то гипербола называется равносторонней, её уравнение

x² – y² = a².

Уравнение

- = 1 (3)

определяет гиперболу с действительной осью Oy (рис.4.6).

Гиперболы, определяемые уравнениями (2) и (3) в одной и той же системе координат, называются сопряжёнными. Эксцентриситет гиперболы ─ это отношение фокусного расстояния к расстоянию между вершинами гиперболы (т.е. точками пересечения гиперболы с осями). Для уравнения (2)

ε = .

Так как c > a, то ε > 1. Фокальные радиусы точки M гиперболы ─ это отрезки F₁M и F₂M. Их длины r₁ и r₂ для правой ветви

r₁ = εx + a, r₂ = εx – a,

для левой ветви

r₁ = -εx − a, r₂ = - εx + a.

Дата добавления: 2014-01-07