Определители третьего порядка

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка

А = .

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число, вычисляемое по формуле

│А│= = .

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «плюс», а какие ─ со знаком «минус», полезно запомнить правило, называемое правилом треугольника:

= ─.

Примеры:

1) = - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8.

2) = 1, т.е. │Е₃│= 1.

Рассмотрим ещё один способ вычисления определителя третьего порядка.

Определение. Минором M _ij элемента a_ij определителя называется определитель, полученный из данного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя называется его минор M_ij, взятый со знаком (-1)^i+j.

Пример. Вычислим минор М₂₃ и алгебраическое дополнение А₂₃ элемента а₂₃ в матрице

А = .

Вычислим минор М₂₃:

М₂₃ = = = - 6 + 4 = -2.

Тогда

А₂₃ = (-1)²⁺³М₂₃ = 2

Теорема 1. Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Док-во. По определению

= . (1)

Выберем, например, вторую строку и найдём алгебраически дополнения А₂₁, А₂₂, А₂₃:

А₂₁ = (-1)²⁺¹= -() = ,

А₂₂ = (-1)²⁺² = ,

А₂₃ = (-1)²⁺³= - () = .

Преобразуем теперь формулу (1)

│А│=() + () + () =А₂₁ +А₂₂ +А_23.

Формула

│А│= А₂₁ +А₂₂ +А_23.

называется разложением определителя │А│ по элементам второй строки. Аналогично разложение можно получить по элементам других строк и любого столбца

Дата добавления: 2014-01-07