Доказательство. Определение.Квадратная матрица А порядка n называется обратимой,если существует матрица В такая, что АВ = ВА = Еn

Обратная матрица.

Определение. Квадратная матрица А порядка n называется обратимой, если существует матрица В такая, что АВ = ВА = Е_n. В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:

1) если матрица А обратима, то существует точно одна ей обратная матрица;

2) обратимая матрица имеет определитель, отличный от нуля;

3) если А и В ─ обратимые матрицы порядка n, то матрица АВ обратима, причём (АВ)^-1 =

= В^-1 ×А^-1.

1) Пусть В и С ─ матрицы, обратные к матрице А, т.е. АВ = ВА = Е_n и АС = СА = Е_n. Тогда В = ВЕ_n = В(АС) = (ВА)С = Е_nС = С.

2) Пусть матрица А обратима. Тогда существует матрица А^-1, ей обратная, причём

АА^-1 = Е_n.

По свойству 9 определителя │АА^-1│=│А││А^-1│. Тогда │А││А^-1│=│Е_n│, откуда

│А││А^-1│= 1.

Следовательно, │А│¹ 0.

3) Действительно,

(АВ)(В^-1А^-1) = (А(ВВ^-1))А^-1 = (АЕ_n)А^-1 = АА^-1 = Е_n.

(В^-1А^-1)(АВ) = (В^-1(А^-1А))В = (В^-1Е_n)В = В^-1В = Е_n.

Следовательно, АВ ─обратимая матрица, причём (АВ)^-1 = В^-1А^-1.

Следующая теорема даёт критерий существования обратной матрицы и способ её вычисления.

Теорема 3. Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля. Если │А│¹ 0, то

А^-1 = .

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы А = .

Решение. │А│= = 6 + 1 = 7.

Так как │А│¹ 0, то существует обратная матрица

А^-1 = = .

Вычисляем А₁₁ = 3, А₁₂ = 1, А₂₁ = -1, А₂₂ = 2.

Тогда А^-1 = .

Дата добавления: 2014-01-07