Основы теории Дебая

Дебай учёл, что колебания атомов в кристаллической решётке не являются независимыми.

Число стоячих волн, приходящихся на единицу объёма кристалла, т.е. нормальных колебаний, частоты которых заключены в интервале от до, равно

(1.10)

где v -фазовая скорость волны в кристалле.

Однако эта формула не учитывает возможных видов поляризации волны. В твёрдой среде вдоль некоторого направления могут распространяться три разные волны с одним и тем же значением частоты, различающиеся направлением поляризации; одна продольная и две поперечные с взаимно перпендикулярными направлениями колебаний. В соответствии с этим формула (1.10) может быть изменена следующим образом

.

здесь - фазовая скорость продольных, а - поперечных упругих волн. Положим для простоты, что = = v. Тогда

(1.11)

Максимальную частоту нормальных колебаний решётки можно найти, приравняв полное число колебаний числу степеней свободы, равному 3 n (n - число атомов в единице объёма кристалла)

Отсюда

(1.12)

Наименьшая длина волны возбуждаемая в кристалле, оказывается равной

,

где d - расстояние между соседними атомами в решётке, Этот результат согласуется с тем, что волны, длина которых меньше удвоенного межатомного расстояния, не имеют физического смысла. Исключив из (1.11) и (1.12) скорость, получим

. (1.13)

Внутренняя энергия единицы объёма может быть представлена в виде

,

где - среднее значение энергии нормального колебания частоты. Подставляя сюда выражение и (1.13) получаем

,

где - энергия нулевых колебаний кристалла.

Производная - даёт теплоёмкость кристалла

. (1.14)

Величину, определяемую условием, называют характеристической температурой Дебая.

. (1.15)

Температура Дебая указывает для каждого вещества ту область, где становится существенным квантование энергии колебаний, Зависимость теплоёмкости С от Т показана на рис.1.5.

T, K

0,2  

0,4  

0,6  

0,8  

C/C_¥

Алюминий Q = 396 К

Рис.1.5

-классическое значение теплоёмкости, получающееся из квантовых формул при Т=0.

Формула Дебая хорошо передает ход теплоёмкости с температурой для тел с простыми кристаллическими решётками. К более сложной структуре кристаллов формула Дебая не применима. Это объясняется тем, что у таких тел спектр колебаний оказывается очень сложным, В рассмотренном случае с одним атомом в кристаллической ячейке, каждому значению волнового вектора соответствовали3 значения (одна продольная и две поперечные волны). Если число атомов в элементарной ячейке кристалла равно r, каждому значению соответствует 3r различных частот; следовательно, частота является многозначной функцией волнового вектора, обладающей 3r ветвями. Так для r = 2,т.е. одномерной цепочки состоящей из чередующихся атомов двух сортов, зависимость w от k имеет вид, показанный на рис.1.6.

w

Акустическая ветвь

Оптическая ветвь

k

w₁

w₂

Рис. 1.6

В трехмерном случае из 3r ветвей три являются акустическими, остальные – оптические. При нормальном колебании акустические частоты отвечают колебаниям атомов, помещающихся в различных элементарных ячейках, относительно друг друга, Оптические частоты – колебаниям атомов относительно друг друга в элементарной ячейке.

Дата добавления: 2014-01-11