Энергетический спектр электронов в твердых телах

Лекция 4.

До сих пор при описании состояний электрона в металле мы пренебрегали периодическим изменением потенциальной энергии электрона, связанным с его взаимодействием с атомными остовами. Мы предполагали, что дно потенциальной ямы плоское и не имеет периодических углублений. Если же учесть такие периодические изменения потенциальной энергии, то окажется, что возможные значения энергии образуют ряд зон. Почему это так происходит, мы объясним на следующем примере.

Рассмотрим две одномерные прямоугольные потенциальные ямы глубиной U₀ и шириной х₀. Они соответствуют эффекту, который дают два последовательно расположенных атомных остова. В соответствии с () энергии уровней в отдельной прямоугольной яме можно записать в виде

, где х₀ ширина ямы.

Если теперь, как показано на рис.1.8а, соединить две ямы в одну, но с удвоенной шириной (L = 2x₀), то мы получим

.

На рис.1.8б яма “двойной ширины” поделена на две соседствующие одинаковые ямы. Заметим, что энергии, отвечающие волновым функциям y₁ и y₂, сблизились друг с другом. На рис.1.8в обе ямы раздвинуты настолько, что стоячие волны в каждой из них по существу совпадают с низшей стоячей волной в отдельной яме, следовательно, Е₁» Е₂.

Таким образом, мы показали, что при сближении двух ям, изображенных на рис.1.8в, уровни энергии, отвечающие y₁ и y₂, раздвигаются. Состояние с наинизшей энергией в случае отдельной ямы превращается в два состояния с различными энергиями в случае двух ям, причем, чем меньше расстояние между ямами, тем сильнее раздвинуты соответствующие энергетические уровни.

Этот результат нетрудно обобщить на случай n расположенных друг за другом ям. При этом в окрестности исходного уровня должна образоваться зона из n энергетических уровней. Увеличение числа n не приводит к изменению ширины зоны при условии, что расстояние между ямами отстаётся тем же самым. В образцах твердого тела типичные значения n оказываются порядка 10²³, так что образованную энергетическими уровнями зону можно считать непрерывной.

В приближении свободных электронов зависимость энергии электрона от волнового числа (модуля волнового вектора) описывается графиком, изображенным на рис.1.9а.

Значения энергии образуют квазинепрерывную последовательность. Следовательно, график Е(k) состоит из дискретных точек. Однако эти точки расположены так густо, что зрительно сливаются в сплошную кривую.

В случае периодического поля зависимость Е от k имеет вид, показанный на рис.1.9б. Из рисунка видно, что изображенные сплошными линиями зоны квазинепрерывно изменяющейся энергии (разрешенные зоны) чередуются с запрещенными зонами. Каждая разрешенная зона состоит из близкорасположенных дискретных уровней, число которых равно количеству атомов в образце кристалла.

Область k-пространства, внутри которой энергия электрона в кристалле изменяется квазинепрерывно, называется зоной Бриллюэна. На границе зон энергия терпит разрыв. На рисунке изображены зоны Бриллюэна в случае одномерного кристалла. Для трехмерных кристаллов границами зон Бриллюэна являются замкнутые многогранные поверхности, заключенные одна внутри другой.

Ширина такой зоны тем больше, чем сильнее взаимодействие между соответствующими электронами; зоны валентных электронов значительно шире зон, возникающих в результате расщепления уровней электронов в атоме.

Схема образования разрешенных энергетических зон из уровней энергии электрона в изолированном атоме представлена на рис.1.10. r₀ - равновесное межатомное расстояние в кристаллической решетке.

Рис.1.10.

Ширина разрешенных и запрещенных энергетических зон различна для разных кристаллов и определяется структурой и симметрией кристалла, межатомной связью, а также зависит от рода атомов, образующих кристалл, и ряда других факторов.

Ширина разрешенных энергетических зон валентных электронов составляет несколько электрон-вольт.

Дата добавления: 2014-01-11