Линейные уравнения. ◙ Линейным уравнением первого порядканазывается уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной

◙ Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

, (8)

где p (x) и g (x) – заданные непрерывные функции от х (или постоянные).

Meтоды решения линейного уравнения

а) метод Бернулли

Будем искать решение уравнения (8) в виде y (x) = u (x) v (x)

Дифференцируя обе части равенства (9), находим: .

Подставим полученное выражение в уравнение (8): или . (10)

Выберем функцию v такой, чтобы . (11)

Разделяя переменные в этом Д.У. относительно функции v, находим

.

Так как достаточно одного отличного от нуля решения уравнения (11), то положим C₁ = 1, тогда (12)

Очевидно, что v (x) ≠ 0.

Подставляя найденное значение v (x) в уравнение (10), получим

Þ Þ .

Таким образом,

.

б) Метод вариации

Для решения уравнения (8) первоначально решают уравнение:

и заменяют в общем решении константу С ₁ на функцию С (х), такую, чтобы она удовлетворяла уравнению (8).

Дата добавления: 2014-01-11