Д.У. высших порядков, допускающие понижения порядка

А) Уравнения вида у¢¢ = f (x, y¢) (17)

Введем замену: y¢ = р (х). Тогда у¢¢ = р¢.

Следовательно, уравнение (17) приводится к уравнению р¢ = f (x, р), которое является уравнением 1-го порядка.

Если р = р (х,С ₁) – общее решение полученного уравнения, то общий интеграл уравнения (17) имеет вид:

З а м е ч а н и е. Аналогичным способом можно решить уравнение

у ^(п) = f (x, y ^{(п -1)}), полагая y ^{(п -1)} = р.

Б) Уравнения вида у¢¢ = f (у, y¢) (18)

Введем замену: y¢ = z (у). Тогда

Следовательно, уравнение (18) приводится к уравнению , которое является уравнением 1-го порядка.

Если z = z (у, С ₁) – общее решение полученного уравнения, то поскольку

, то

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения (18): Ф (х, у, С ₁, С ₂) = 0.

Дата добавления: 2014-01-11