Решение. Таким образом, в результате умножения матрицы на матрицу

.

Таким образом, в результате умножения матрицы на матрицу получаем матрицу , число строк в которой равно числу строк матрицы , а число столбцов матрицы равно числу столбцов матрицы .

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами:

1) .

2) .

3) .

4)

5)

6)

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

а) если произведение матриц существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц может и не существовать;

б) если даже произведение и существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

Пример 1.4. Найти произведение матриц и :

, .

Решение. ; , т.е.

в) в случае, когда оба произведения и существуют и оба – матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц и одного порядка), переместительный закон не выполняется, т.е. .

Пример 1.5. Найти произведение матриц и :

, .

Решение. ; , т.е. .

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы -го порядка на единичную матрицу того же порядка, причем это произведение равно : . Таким образом, единичная матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

г) произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что , не следует, что или .

Например, ; , но .

Возведение в степень. Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , т.е.

Замечание. Операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.

По определению полагают , .

Пример 1.6. Найти , где .

Решение. .

Замечание. Из равенства еще не следует, что .

Транспонирование матрицы – переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица называется транспонированной относительно матрицы .

Из определения следует, что если матрица имеет размер , то транспонированная матрица имеет размер .

Например, ; .

Свойства операции транспонирования:

1) ;	2) ;
3) ;	4) .

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

.

(1.6)

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда определитель матрицы не равен нулю.

Обратная матрица равна транспонированной матрице алгебраических дополнений, деленных на определитель матрицы:

.

(1.7)

Пример 1.7. Найти матрицу обратную к матрице

Решение. Вычислим определитель матрицы :

Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы :

Следовательно, можно сформировать обратную матрицу:

.

Легко проверить, что :

.

Дата добавления: 2014-11-06