Одной переменной

ТЕМА 5. интегральное исчисление функции

5.1. Основные понятия

Функция называется первообразной для функции на некотором отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство . Процесс нахождения первообразной для заданной функции называется интегрированием.

Интегрирование функций – действие, обратное дифференцированию. Найти неопределенный интеграл означает, что требуется найти первообразную функции, то есть функцию, производная которой равняется подынтегральной функции.

Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех ее первообразных

,

(5.1)

где – произвольная постоянная.

Вычисление неопределенного интеграла проводится с использованием таблицы интегралов, свойств интеграла, а также целого ряда специальных приемов.

5.2. Таблица интегралов

5.3. Основные свойства неопределенного интеграла

v Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

; .

(5.2)

v Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

.

(5.3)

v Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

(5.4)

v Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен сумме неопределенных интегралов слагаемых:

.

(5.5)

v Если справедливо равенство , то справедливым будет и соотношение:

.

(5.6)

К основным методам интегрирования относятся: непосредственное интегрирование, метод замены переменной и интегрирование по частям.

5.4. Основные методы интегрирования

Метод интегрирования, основанный на применении свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов, называется непосредственным интегрированием. Рассмотрим этот метод на примерах.

Дата добавления: 2014-11-06