Основные свойства определенного интеграла

Пример 5.1.

= = .

Пример 5.2. = .

Пример 5.3. .

5.5. Определенный интеграл

Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от на равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е.

.

(5.9)

Это формула Ньютона-Лейбница. Ее можно представить в виде

.

(5.10)

Определенный интеграл – это число, для его вычисления предварительно находят первообразную для соответствующего неопределенного интеграла.

Если на , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями (рис. 5.1).

	0

Рис. 5.1 – Геометрическое представление определенного интеграла

v Значение определенного интеграла не зависит от переменной интегрирования

.

(5.11)

v При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный

.

(5.12)

v Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

.

(5.13)

v Если отрезок интегрирования разбить точкой , то интеграл по всему отрезку будет равен сумме интегралов по его частям

.

(5.14)

v Интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций

.

(5.15)

v Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

.

(5.16)

v Определенный интеграл в симметричных относительно нуля пределах от четной функции равен удвоенному интегралу на половине интервала интегрирования:

.

(5.17)

v Определенный интеграл в симметричных относительно нуля пределах от нечетной функции равен нулю

.

(5.18)

Пример 5.4. Вычислить интеграл .

Дата добавления: 2014-11-06