Примеры решения задач

Задача 1. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) поверхности тела.

Дано:

______________________

Решение.

Энергетическая светимость R_e абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана-Больцмана пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры и выражается формулой

, (1)

где - постоянная Стефана-Больцмана, Т - термодинамическая температура.

Температуру Т можно вычислить с помощью закона Вина:

, (2)

где b - постоянная первого закона смещения Вина.

Используя формулы (2) и (1), получаем выражение:

(3)

Произведем вычисления:

.

Ответ: энергетическая светимость поверхности тела равна .

Задача 2. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра:

1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны 0,155 мкм;

2) гамма-излучением с длиной волны 1 пм.

Дано: ,

_.

___________________________

Решение.

Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта

, (1)

где  - энергия фотонов, падающих на поверхность металла,

А - работа выхода электрона,

- максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Энергия фотона вычисляется также по формуле:

, (2)

где h - постоянная Планка, с - скорость света в вакууме, - длина световой волны.

Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле:

(3)

или по релятивистской формуле:

, (4)

где E_o - энергия покоя электрона, .

Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект. Если энергия фотона намного меньше энергии покоя E_o электрона, то может быть применена формула (3). Если же ’энергия фотона сравнима по величине с энергией покоя электрона E_o, то вычисление по формуле (3) приводит к большой ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).

1) Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по формуле (2):

Или .

Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, в этом случае кинетическая энергия фотоэлектронов в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3):

,

Откуда

. (5)

Проверим размерность выражения (5).

.

Подставим значение величин в формулу (5):

м/с.

2) Вычислим энергию фотона гамма-излучения:

или во внесистемных единицах:

Работа выхода электрона (А = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона ( ₂ = 1,24 МэВ), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона следует использовать релятивистскую формулу кинетической энергии (4).

Из этой формулы

Заметив, что и , получим:

.

Энергии Е_о и ₂ входят расчетную формулу в виде отношения, поэтому их можно выражать во внесистемных единицах.

Вычисление:

Ответ: максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра ультрафиолетовым излучением, равна ;

максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра гамма-излучением, равна

Задача 3. Фотон с энергией ε = 0,75МэВ рассеялся на свободном электроне под углом θ = 60°. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить: 1) энергию рассеянного фотона; 2) кинетическую энергию Т электрона отдачи; 3) направление его движения.

Дано:

θ = 60°.

___________________________________

T -?

Решение.

1. Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись формулой Комптона:

, (1)

где - длина волны падающего фотона;

- длина волны рассеянного фотона;

- масса покоя электрона;

- скорость света в вакууме;

- угол рассеяния фотона.

Выразив длины волн λ' и λ через энергии ε ', рассеянного фотона, и ε, падающего фотона, получим:

. (2)

Приведем выражение (2) к виду

. (3)

Известно, что энергия покоя электрона

(формула Эйнштейна) (4)

С учетом (4) формулу (3) запишем в виде:

. (5)

Подставив числовые значения величин, получим значение энергии рассеянного фотона:

ε ' = 0,43 МэВ.

2. Кинетическая энергия электрона отдачи, как это следует из закона сохранения энергии, равна разности между энергией падающего фотона

и энергией рассеянного фотона:

. (6)

3. Направление движения электрона отдачи найдем, применив закон сохранения импульса, согласно которому импульс падающего фотона P равен векторной сумме импульсов рассеянного фотона и электрона отдачи.

, (7)

где - импульс падающего фотона;
- импульс рассеянного фотона;

- импульс электрона отдачи.

Векторная диаграмма импульсов изображена на риcунке. Все векторы проведены из точки О, где находился электрон в момент соударения с фотоном. Угол φ определяет направление движения электрона отдачи.

Из треугольника OCD находим

, (8)

или

. (9)

Так как и , то

. (10)

Преобразуем формулу (10) так, чтобы угол φ выражался непосредственно через величины ε и θ, заданные в условии задачи. Из формулы (3) следует:

. (11)

C учетом (5) формула (10) примет вид:

. (12)

Учитывая, что и после соответствующих преобразований получим:

. (13)

После вычисления по формуле (13) найдем , откуда φ = 35°.

Ответ: энергия рассеянного фотона равна 0,43 МэВ; кинетическая энергия электрона отдачи равна 0,32 МэВ; направление движения электрона отдачи определяется углом φ, равным 35°.

Задача 4. Пучок монохроматического света с длиной волны 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток энергии равен0,6 Вт. Определить силу F давления, испытываемую этой поверхностью, а также число N фотонов, падающих на нее за время, равное 5 с.

Дано:

___________________

F -? N -?

Решение.

Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления P на площадь S поверхности:

. (1)

Световое давление может быть найдено по формуле

, (2)

где - облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности за 1 с;

- коэффициент отражения (для зеркальной поверхности ).

- скорость света в вакууме.

Подставляя выражение (2) давления света в формулу (1), получим:

. (3)

Так как произведение облученности на площадь поверхности равно потоку энергии излучения, падающего на поверхность, то соотношение (3) можно записать в виде:

, (4)

где - поток энергии излучения.

Производим вычисления:

.

Число фотонов, падающих за время на поверхность, определяется по формуле:

, (5)

где - энергия излучения, получаемая поверхностью за время ;

- энергия фотона.

Выразив в формуле (5) энергию фотона через длину волны , получим:

. (6)

Подставив в формулу (6) числовые значения величин и произведя вычисления, получим:

(фотонов)

Ответ: сила давления, испытываемая поверхностью, равна ;

за пять секунд на поверхность падает фотонов.

Задания к контрольной работе № 3

300. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой 4 см и периодом 2 с. Написать уравнение движения точки, если ее движение начинается из положения .

301. Однородный диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 15 см от центра диска. Определить период колебания диска относительно оси.

302. Найти возвращающую силу в момент времени t = 1c м полную энергию материальной точки, совершающей колебания по закону , где А = 20 см, ω =2π/3 с^-1. масса материальной точки равна 10 г.

303. На вращающемся диске укреплен шарик. Какое движение совершает тень шарика на вертикальном экране?
Определите смещение тени шарика за время, равное Т /2 и Т, если расстояние от центра шарика до оси вращения равно 10 см. Начальная фаза колебания тени шарика равна рад

304. Груз массой 200 г подвешен к пружине с коэффициентом упругости 1 Н/м. Найти длину математического маятника, имеющего такой же период колебаний, как данный пружинный маятник.

305. Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии для момента времени t=T/12, где Т - период колебаний.

306. Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к их параллельному соединению. Колебания считать гармоническими.

307. Гармоническое колебание точки имеет вид:

Через какую долю периода скорость точки будет равна ее максимальной скорости?

308. Математический маятник совершает колебания с амплитудой 3 см. Определите смещение маятника за время, равное Т /2 и Т. Начальная фаза колебаний равна рад.

309. Два одинаково направленных гармонических колебания с одинаковой частотой и амплитудами 3 см и 5 см складываются в одно колебание с амплитудой 7 см. Найти разность фаз складываемых колебаний.

310. Скорый поезд удаляется от стоящего на путях электропоезда со скоростью 72 км/ч. Электропоезд подает сигнал с частотой 0,6 кГц. Определить кажущуюся частоту сигнала, воспринимаемого машинистом скорого поезда.

311. Движущийся по реке теплоход дает свисток частотой 400 Гц. Наблюдатель, стоящий на берегу, воспринимает звук сигнала частотой 395 Гц. Определить скорость теплохода, если скорость звука в воздухе приблизительно равна 340 м/с.

312. Найти смешение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии l/I2, для момента времени Т/6. Амплитуда колебания 0,05 м.

313. Источник монохроматического света с длиной волны 600 нм движется по направлению к наблюдателю со скоростью 400 м/с. Определить длину волны излучения, которую зарегистрирует спектральный прибор наблюдения.

314. Самолет, летящий со скорость 300 м/с, является источником звуковых волн с частотой 1000 Гц. На сколько отличается частота звука, воспринимаемого наблюдателем при удалении от него этого самолета?

315. Катер движется в море со скоростью 54 км/ч. Расстояние между гребнями волн 10 м, период колебаний частиц в волне 2 с. С какой частотой ударяются волны о корпус катера при его движении: 1) в направлении распространения волны; 2) навстречу волнам?

316. Определите скорость распространения волны, если ее длина 150 м, а период 12 с. На каком расстоянии находятся ближайшие точки волны, колеб­лющиеся в противоположных фазах?

317. Определить скорость u распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на 10 см, равна 60°. Частота колебаний n=25 Гц.

318. С какой скоростью удаляется от нас некоторая туманность, если известно, что линия водорода с длиной волны 434 нм в ее спектре смещена в сторону красных волн на 1 нм?

319. Поезд проходит мимо станции со скоростью 72 км/ч. Частота гудка электровоза 300 Гц. Определить частоту звука, который будет услышан человеком, стоящим на платформе, если поезд приближается.

320. На какой диапазон длин волн можно настроить колебательный контур с индуктивностью 1 мГн, если изменять емкость от 50 пФ до 500 пФ?

321. В однородной и изотропной среде с диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля в ней 10 В/м. Найти фазовую скорость волны.

322. Радиопередатчик искусственного спутника Земли работает на частоте 20 МГц. Какова длина волны передатчика?

323. Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и конденсатора емкостью 1 пФ, имеет частоту колебаний 5 МГц. Найти максимальную силу тока, протекающего по катушке, если полная энергия контура 0,5 мкДж.

324. По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду ЭДС, период тока и частоту. Напишите уравнение ЭДС.

325. По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду силы тока, период и частоту. Напишите уравнение мгновенного значения силы переменного тока.

326. Плоская электромагнитная волна частотой , имеющая амплитуду напряженности электрического поля 120 В/м, распространяется в воздухе. Записать уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, положив начальную фазу равную нулю.

327. Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности. Определить частоту колебаний, возникающих в контуре, если максимальная сила тока в катушке индуктивности 1,2 А, максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора 1200 В, полная энергия контура 1,1 мДж.

328. Колебательный контур содержит конденсатор электроемкостью и катушку индуктивностью . Определить длину волны излучения, генерируемого контуром.

329. В вакууме вдоль оси Х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны равна . Определить амплитуду напряженности электрического поля волны.

330. Скорость распространения электромагнитных волн в некоторой среде составляет Определить длину волны электромагнитных волн в этой среде, если их частота вакууме .

331. Расстояние между двумя щелями в опыте Юнга равно 0,5 мм . Определить расстояние от щелей до экрана, если ширина интерференционных полос равнааа 1,2 мм.

332. Расстояние от щелей до экрана в опыте Юнга равно 1 м. Определить расстояние между щелями, если на отрезке длиной 1 см укладывается 10 темных интерференционных полос. Длина волны монохроматического света равна 0,7мкм.

333. На мыльную пленку (показатель преломления равен 1,33) падает монохроматический свет с длиной волны 0,6 мкм (желтый свет) под углом 45°. При какой наименьшей толщине пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет? При какой наименьшей толщине пленки она будет казаться темной? Что будет с окраской пленки, если менять угол падения?

334. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны 590 нм. Свет падает по нормали к поверхности пластины. Между линзой и пластинкой находится жидкость с показателем преломления 1,33. Определить толщину зазора в том месте, где в отраженном свете наблюдается третье светлое кольцо.

335. В опыте Юнга расстояние между щелями равно 0,8 мм, длина волны света 0.7 мкм. На каком расстоянии от щелей следует расположить экран, чтобы ширина интерференционной полосы оказалась равной 2 мм?

336. Угол между спектрами вторых порядков равен 36⁰. Определить длину волны света, падающего на дифракционную решетку с постоянной решетки d = 4мкм.

337. Расстояние между двумя когерентными источниками света равно 0,2 мм. Они удалены от экрана на расстояние 2 м. Найти длину волны, излучаемую когерентными источниками, если расстояние на экране между третьим и пятым минимумами интерференционной картины равно 1,2 см.

338. На щель шириной 0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (длина волны равна 0,5 мкм). Определить ширину центрального максимума в дифракционной картине, наблюдаемой на экране, удаленном от щели на расстояние 3м.

339. Определить радиус четвертой зоны Френеля, если радиус второй зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 2 мм.

340. Какова наименьшая толщина мыльной пленки, если при наблюдении под углом 30⁰ к поверхности мыльной пленки в отраженном свете она окрашивается в фиолетовый цвет с λ =0,4 мкм?

341. Степень поляризации частично поляризованного света составляет 0,75. Определить отношение максимальной интенсивности света, пропускаемого анализатором, к минимальной.

342. Чему равен угол между главными плоскостями двух николей, если интенсивность естественного света, прошедшего через эту систему, уменьшилась в 5,4 раза? Считать, что каждый николь поглощает и отражает –14% падающего на него света.

343. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность света, прошедшего через два николя, главные плоскости которых образуют угол , если каждый из николей как поглощает, так и отражает 5% падающего на него света.

344. Между двумя параллельными николями помещают кварцевую пластинку толщиной 1 мм, вырезанную параллельно оптической оси. При этом плоскость поляризации монохроматического света, падающего на поляризатор, повернулась на угол 20°. При какой минимальной толщине пластинки свет не пройдет через анализатор?

345. На дифракционную решетку, имеющую 500 штрихов на 1 мм, падает свет с длиной волны 600 нм. Определить наибольший порядок спектра, который можно получить данной решеткой.

346. Дифракционная решетка имеет такой период, что максимум первого порядка для длины волны 0,7 мкм соответствует углу 30^о. Какова длина волны света, который в спектре второго порядка имеет максимум под углом 45^о?

347. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновского излучения. Расстояние между атомными плоскостями равно 280 пм. Под углом 65° к атомной плоскости наблюдается дифракционный максимум первого порядка. Определить длину волны рентгеновского излучения.

348. Раствор глюкозы с массовой концентрацией , находящийся в стеклянной трубке, поворачивает плоскость поляризации монохроматического света на угол . Определить массовую концентрацию глюкозы в другом растворе в трубке такой же длины, если он поворачивает плоскость поляризации монохроматического света на угол .

349. Определить показатель преломления стекла, если при отражении от него света отраженный луч полностью поляризован при угле преломления .

350. На поверхность воды под углом Брюстера падает пучок плоскополяризованного света. Плоскость колебаний светового вектора составляет угол 45° с плоскостью падения. Найти коэффициент отражения.

351. Имеется два абсолютно черных источника теплового излучения. Температура одного из них T₁ = 2500 К. Найти температуру другого источника, если длина волны, отвечающая максимуму его лучеиспускательной способности, на Δ λ = 0,50 мкм больше длины волны, соответствующей максимуму лучеиспускательной способности первого источника.

352. Медный шарик диаметра d = 1,2 см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика Т₀ = 300 К. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура уменьшится в 2,0 раза

353. Какая доля энергии фотона израсходована на работу вырывания фотоэлектрона, если красная граница фотоэффекта λ₀=307 нм и максимальная кинетическая энергия T_max фотоэлектрона равна 1 эВ?

354. На цинковую пластинку падает монохроматический свет с длиной волны λ =220 нм. Определить максимальную скорость фотоэлектронов.

355. Определить длину волны λ ультрафиолетового излучения, падающего на поверхность некоторого металла, при максимальной скорости фотоэлектронов, равной 10 Мм/с. Работой выхода электронов из металла пренебречь

356. Фотон с энергией ε=0,4 мэВ рассеялся под углом θ =90° на свободном электроне. Определить энергию ε ' рассеянного фотона и кинетическую энергию электрона отдачи.

357. Угол рассеяния θ фотона равен 90°. Угол отдачи φ электрона равен 30°. Определить энергию ε падающего фотона.

358. Фотон с энергией 0,25 МэВ рассеялся на свободном электроне. Энергия рассеянного фотона равна 0,2 МэВ. Определить угол рассеяния фотона.

359. Фотон (λ = 1 пм) рассеялся на свободном электроне под углом θ=90° Какую долю своей энергии фотон передал электрону?

360. Длина волны фотона равна комптоновской длине волны электрона. Определить энергию и импульс фотона.

361. Энергия ε падающего фотона равна энергии покоя электрона. Определить долю w₁ энергии падающего фотона, которую сохранит рассеянный фотон, и долю w₂ этой энергии, полученную электроном отдачи, если угол рассеяния θ равен 60°.

362. Энергия ε падающего фотона равна энергии покоя электрона. Определить долю w₁ энергии падающего фотона, которую сохранит рассеянный фотон, и долю w₂ этой энергии, полученную электроном отдачи, если угол рассеяния θ равен: 90°.

363. Энергия ε падающего фотона равна энергии покоя электрона. Определить долю w₁ энергии падающего фотона, которую сохранит рассеянный фотон, и долю w₂ этой энергии, полученную электроном отдачи, если угол рассеяния θ равен 180°.

364. Определить давление солнечного излучения на зачерненную пластинку, расположенную перпендикулярно солнечным лучам и находящуюся вне земной атмосферы на среднем расстоянии от Земли до Солнца.

365. Определить поверхностную плотность потока энергии излучения, падающего на зеркальную поверхность, если световое давление при перпендикулярном падении лучей равно 10 мкПа.

366. На зеркальце с идеально отражающей поверхностью площадью падает нормально свет от электрической дуги. Определить импульс, полученный зеркальцем, если поверхностная плотность потока излучения, падающего на зеркальце, равна . Продолжительность облучения равна 1 с.

367. Давление монохроматического света на черную поверхность, расположенную перпендикулярно падающим лучам, равно 0,1 мкПа. Определить число фотонов, падающих за время 1 с на поверхность площадью .

368. Пучок монохроматического света (λ= 662 нм) падает на зачерненную поверхность и производит на нее давление равное

0,3 мкПа. Определить концентрацию фотонов в световом пучке.

369. На зеркальце с идеально отражающей поверхностью площадью S =1,5 см² падает нормально свет от электрической дуги. Определить импульс, полученный зеркальцем, если поверхностная плотность потока излучения, падающего на зеркальце, равна

0,1 МВт/м². Продолжительность облучения равна 1 с.

Дата добавления: 2014-11-07