Примеры решения задач по теме. «Волновые свойства частиц»

«Волновые свойства частиц»

Задача 1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля для двух случаев: 1) U ₁ = 51 B; 2) U ₂ = 510 кВ.

Дано:

электрон

U ₁ = 51 B;

U ₂ = 510 кВ = 5,1^.10 ⁵ В.

_________________

-?

Решение

Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой:

, (1)

где h - постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Е_к. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше энергии ее покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

, (2)

где m_o - масса частицы.

В релятивистском случае

, (3)

Где - энергия покоя частицы.

Запишем Формулу (1) с учетом соотношений (2) и (3)

в нерелятивистском случае:

, (4)

в релятивистском случае:

. (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов и , с энергией покоя электрона..

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна

В первом случае

,

что много меньше энергии покоя электрона.

Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что .

Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде

^.

Учитывая, что выражение есть комптоновская длина волны , получим

.

.

Во втором случае кинетическая энергия

.

Кинетическая энергия электрона равна его энергии покоя. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5).

Учитывая, что ,

по формуле (5) найдем длину волны де Бройля:

,

или .

Ответ: длинf волны де Бройля в первом случае равна 171 пм, во втором случае длина волны де Бройля равна 1,4 пм.

Задача 2. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные размеры атома.

Дано:

__________________________________

Решение.

Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид

, (1)

где - неопределенность импульса частицы (электрона),

- неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона), ħ - приведенная постоянная Планка.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры , тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

. (2)

В этом случае соотношение неопределенностей можно записать в виде

, (3)

откуда

(4)

Физически разумная неопределенность импульса не должна превышать значение самого импульса, т. е.

. (5)

Импульс связан с кинетической энергией соотношением:

. (6)

C учетом выражений (5) и (6) перейдем к равенству

. (7)

Произведем вычисления, получим:

Ответ: минимальные размеры атома составляют .

Дата добавления: 2014-11-07