Механические колебания

Колебательным движением называется всякое движение или изменение состояния, повторяющееся во времени. Если повторение состояний происходит через равные промежутки времени, то колебания называют периодическими. Простейшие периодические колебания записываются в виде

Здесь – текущая координата; A – амплитуда; – циклическая частота; – начальная фаза колебаний. Это гармонические колебания.

Рассмотрим колебания пружинного маятника (рис. 17).

Рис. 17

Пружина имеет коэффициент жесткости – ; m – масса колеблющегося тела. Точка O – положение покоя (равновесное положение). Относительно точки О тело m смещается вправо и влево на величину А – амплитуда колебаний. Силы трения отсутствуют. Такие колебания называются свободными.

Полная механическая энергия маятника в произвольной точке x состоит из кинетической, связанной с движением, и потенциальной, связанной с деформацией пружины.

При отклонении на величину A, , тогда

– закон сохранения энергии.

Выполним преобразования

;

. Это выражение интегрируем.

; – постоянная интегрирования.

В момент времени

Получим ; обозначим ;

Если , то в общем виде уравнение примет вид

(*)

Полученное уравнение – это уравнение гармонических колебаний.

Применим второй закон Ньютона к колебаниям пружинного маятника.

;

; но ;

Это уравнение гармонических колебаний, записанное в дифференциальной форме. Его решением является уравнение (*);

Рис. 17

а) Рассмотрим колебания математического маятника – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (угол ‑ мал). Из рис. 17 видно, что ,

Уравнение движения (2-й закон Ньютона) имеет вид

;

; ; .

Обозначим ; тогда .

Это означает, что малые колебания математического маятника также являются гармоническими.

Дата добавления: 2014-11-07