Принцип Германа-Эйлера-Даламбера для несвободной материальной точки

Р

Примеры вычисления кинетической энергии системы

α

ω

ω

ω

Дано: ω, OА,

Теорема об изменении кинетической энергии системы

	τ

Расмотрим движение точки массой m под действием силы по

Установим зависимость между работой силы и кинетической энергией:

dS – элементарное перемещение вдоль касательной.

(1)

Уравнение (1) выражает теорему об изменении кинетической энергии. Таким образом, изменение кинетической энергии материальной точки при некотором ее перемещении равно работе, действующей на нее силы на том же перемещении, т.е. за счет изменения кинетической энергии совершается работа.

Рассмотрим систему n точек M₁ … M_n и рассмотрим M_k -точку, к которой приложены внешние и внутренние силы, тогда суммируя по n точкам системы, получим

Т.К работа внутренних сил равна нулю (), то выражение теорема об изменении кинетической энергии будет иметь вид:

Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равна сумме работ всех внешних сил, действующих на систему на том же перемещении.

(«Петербургский принцип»)

Для свободной материальной точки массой m использовали уравнение вида

Рассмотрим движение несвободной материальной точки в трехмерной системе отсчета инерциальной системе координат.

Пусть на точку действует некоторое тело А с силой . На точку наложена связь – некоторое тело В (см. рисунок), реакция которой .Тогда равнодействующая этих сил будет находиться по формуле

и в соответствии со вторым законом Ньютона ускорение будет направлено вдоль равнодействующей .

В результате возникновения ускорения точка массой m в соответствии с законом равенства действия и противодействия будет сопротивляться навязыванию ей ускорения с силой, равной и противоположно направленной , т.е :

И тогда геометрическая сумма заданных сил , динамических реакций связи и сил инерции в любой момент времени равна нулю и образует уравновешенную систему сил, а точка находиться в динамическом равновесии:

(1)

Это уравнение выражает принцип Даламбера для несвободной точки.

Уравнение (1) получали ранее, рассматривая динамику относительного движения точки.

Следует отметить, что приложена не к точке, а к телам, которые сообщают этой точке ускорение, т.е. к телам А и В.

Частные случаи

τ

Если точка движется криволинейно неравномерно,

Тогда:

τ

то

;

Рассмотрим пример 1.

α

ρ

Машина весом Р движется по мосту радиусом ρ с постоянной скоростью V. Требуется найти реакцию связи .

Проектируя равенство (1) на нормаль, получим:

=0

откуда

если N=0, то наступает состояние невесомости,

т.е: ,

где:

Пример 2.

Определим угол наклона профиля автострады на вираже радиуса Р при скорости V и массе m.

Из подобия треугольников ABC и PRF_in

;

откуда находим Н.

здесь: ;

Дата добавления: 2014-10-15