Тема. Монотонність функції, ознаки сталості, зростання і спадання функції
План
Монотонність функції.
Необхідна і достатня умова сталості функції.
1. Монотонність функції
Достатня умова зростання функції
Достатня умова спадання функції
Якщо в кожній точці інтервалу (a;b) , то функція f(x) зростає на цьому інтервалі.
Якщо в кожній точці інтервалу (a;b) , то функція f(x) спадає на цьому інтервалі.
2. Необхідна і достатня умова сталості функції
Функція f(x) є сталою на інтервалі (a;b) тоді і тільки тоді, коли в усіх точках цього інтервалу.
План
Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції.
Критичні точки.
Необхідна і достатня умови екстремуму
Дослідження функції на екстремуми.
1. Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції
Точки максимуму
Точки мінімуму
Точка х0 з області визначення функції f(x) називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл
(х0 -; х0 + ) точки х0, такий, що для всіх хх0 з цього околу виконується нерівність
- точка максимуму
Точка х0 з області визначення функції f(x) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл (х0 -; х0 + ) точки х0, такий, що для всіх хх0 з цього околу виконується нерівність
- точка мінімуму
Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму
Значення функції в точках максимум і мінімуму називаються екстремумами (максимумом і мінімумом) функції
- максимум
- мінімум
2. Критичні точки
Означення
Приклад
Критичними точками функції називаються внутрішні точки її області визначення, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.
f(x) = х3 – 12х
f´(x) = 3х2 – 12х існує на всій області визначення
f´(x) = 0 при 3х2 – 12х = 0, х2 = 4,
2 – критичні точки
3. Необхідна і достатня умови екстремуму
Необхідна умова екстремуму
Достатня умова екстремуму
У точках екстремуму похідна функції f(x) дорівнює нулю або не існує
(але не в кожній точці х0, де f´(x) = 0 або f ´(x0) не існує, буде екстремум)
Якщо функція f(x) неперервна в точці х0 і похідна f´(x) змінює знак при переході через точку х0, то х0 - точка екстремуму функції f(x)
4. Дослідження функції на екстремуми
Приклад графіка функції у = f(х), що має екстремуми
(х1, х2, х3, х4, х5 - критичні точки)
Знаком «» позначено зростання функції, а знаком «»- спадання функції.
3. Знайти критичні точки, тобто внутрішні точки області визначення, у яких f ´(х) дорівнює нулю або не існує
f ´(х) існує на всій області визначення.
f ´(х) = 0 при х = 0, х = 1, х = - 1.
4. Позначити критичні точки на області визначення, знайти знак похідної і характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення.
5. Відносно кожної критичної точки визначити, чи є вона точкою максимуму або мінімуму, чи вона не є точкою екстремуму.
6. Записати результат дослідження (проміжки монотонності і екстремуми).
f(х) зростає на кожному з проміжків:
і ;
f(х) спадає на .
Точки екстремуму: хmax = - 1; хmin = 1
Екстремуми: уmax = f (-1) = 3; уmin = f (1) = -1.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление