Поняття опуклості і точок перетину диференційованої на інтервалі (a; b) функції.
Властивість графіків опуклих функцій.
Достатні умови опуклості функції, що має другу похідну на заданому інтервалі (a; b).
Знаходження точок перегину функції, що має другу похідну на заданому інтервалі.
Дослідження функції на опуклість і точки перегину.
1. Поняття другої похідної
Поняття
Запис
Приклад
Нехай функція у = f(х) має похідну f ´(х) в усіх точках деякого проміжку. Ця похідна, у свою чергу, є функцією аргументу х. Якщо функція f ´(х) є диференційованою, то її похідну називають другою похідною від f(х) і позначають (або )
у = f(х),
,
.
у = х5
5х4
2. Поняття опуклості і точок перетину диференційованої на інтервалі (a; b) функції
Функція f(х) називається опуклою вниз на інтервалі(a; b), якщо для будь - якої точки х0 із цього інтервалу при всіх х (a; b) і графік функції лежить вище дотичної до цього графіка в точці ().
Функція f(х) називається опуклою вгору на інтервалі(a; b), якщо для будь - якої точки х0 із цього інтервалу при всіх х (a; b) і графік функції лежить нижче дотичної до цього графіка в точці ().
Точка М графіка неперервної функції f(х), у якій існує дотична і при переході через яку крива змінює напрям опуклості, називається точкою перегину графіка функції. У точці перегину графік функції переходить з одного боку дотичної до іншого.
Абсцису х0 точки М перегину графіка функції f(х) називають точкою перегину функції f(х). Точка х0 розділяє інтервали опуклості функції.
3. Властивість графіків опуклих функцій
Якщо функція f(х) опукла вниз на інтервалі (a; b) і М1 та М2 - точки її графіка на цьому інтервалі, то на інтервалі (х1;х2) графік функції у = f(х) лежить нижче відрізка М1М2, тобто графік лежить нижче хорди.
Якщо функція f(х) опукла вгору на інтервалі (a; b) і М1 та М2 - точки її графіка на цьому інтервалі, то на інтервалі (х1;х2) графік функції у = f(х) лежить вище відрізка М1М2, тобто графік лежить вище хорди.
4. Достатні умови опуклості функції, що має другу похідну на заданому інтервалі (a; b)
Умова опуклості вниз
Умова опуклості вгору
Якщо на інтервалі (a; b) двічі диференційована функція f(х) має додатну другу похідну (тобто при всіх х (a; b)), то її графік на інтервалі (a; b) спрямований опуклістю вниз.
Якщо на інтервалі (a; b) двічі диференційована функція f(х) має від’ємну другу похідну (тобто при всіх х (a; b)), то її графік на інтервалі (a; b) спрямований опуклістю вгору.
5. Знаходження точок перегину функції, що має другу похідну на заданому інтервалі
Необхідна умова
Достатня умова
У точках перегину функції f(х) її друга похідна дорівнює нулю або не існує.
Нехай функція f(х) має на інтервалі (a; b) другу похідну. Тоді, якщо змінює знак при переході через х0, де х0 (a; b), то х0 - точка перегину функції f(х).
6. Дослідження функції на опуклість і точки перегину
Схема
Приклад
1. Знайти область визначення функції.
Дослідіть функцію f(х) = х4 – 4х3 – 18х2 + 1 на опуклість і точки перегину.
Область визначення: D(f) = R.
Функція f(х) неперервна в кожній точці своєї області визначення (як многочлен).
2. Знайти другу похідну.
2.
3. Знайти внутрішні точки області визначення, у яких друга похідна дорівнює нулю або не існує
3. існує і неперервна на всій області визначення функції f(х).
12(х2 – 2 х - 3) = 0; х1 = - 1; х2 = 3
4. Позначити одержані точки на області визначення функції, знайти знак другої похідної і характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення.
5. Записати потрібний результат дослідження (інтервали і характер опуклості і точки перегину).
На інтервалах і графік функції спрямовано опуклістю вниз (), а на інтервалі - опуклістю вгору (). Точки перегину: х = -1 і х = 3 (у цих точках змінює знак).
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2025) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление