Случайные события

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

БОГДАНОВ А. Е.

ИМЕЮЩИХСЯ В БИБЛИОТЕКЕ РМК

1. Митрофаненко В.П. Учебно-методическое пособие по анатомии и физиологии человека: Электронная версия учебника.- М.: АНМИ, 2002

2. Мицьо В.П. Физиология: Электронное учеб. пособ. для вузов//Лекции для студентов. Медицина. 2 курс

3. Ржевская Ж.А. Нормальная анатомия человека: Электронное учеб. пособ. для вузов// Лекции для студентов. Медицина. 1 курс

4. Сухова И.М., Дружинина Л.В., Столетова Н.И. Анатомо-топографический атлас с медицинской терминологией: Комплекс программ для обучения, самоконтроля и контроля: Электронное учеб. пособ. для мед. колледжей- М.: АНМИ, 2004

5. Орлов Р.С., Ноздрачев А.Д. Нормальная физиология: СD- диск: Расширенный курс нормальной физиологии, интерактивный тестовый экзамен по курсу, приложения, 200 иллюстраций

(лекции)

(МК 1)

(Теория вероятностей)

Предмет теории вероятностей

Все наблюдаемые события (явления) можно подразделить на три группы: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Пример. □ В сосуде находится вода при Р _н = 1 атм и t = 20⁰ C.

Событие “вода в сосуде находится в жидком состоянии” является достоверным. Здесь атмосферное давление и температура воды образуют совокупность условий S.

■

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Пример. □ В сосуде находится вода при Р _н = 1 атм и t = 20⁰ C.

Событие “вода в сосуде находится в твердом состоянии” является невозможным при осуществлении указанных условий S. ■

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти.

Пример. □ Пусть подброшена монета.

Монета может упасть так, что сверху будет либо “орел”, либо “решка”. Поэтому событие “при бросании монеты выпал “орел” – случайное. ■

Каждое случайное событие есть следствие действия очень многих случайных причин (рассмотренном примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и т.д.). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, − она просто не в силах это сделать.

Если же случайные события наблюдаются многократно при одних и тех же условиях S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях, то оказывается, что такие события подчиняются определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание таких закономерностей позволяет предвидеть как случайные события будут протекать. Например, нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений “орла”, если монета брошена достаточно большое число раз.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных областях науки и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления и т.д.

Основные понятия теории

вероятностей

В дальнейшем, вместо фразы “совокупность условий S осуществлена” будем говорить “произведено испытание”. Тогда событие будет рассматриваться как результат испытания.

Пример. □ Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три области. Выстрел – это испытание. Попадание в определенную область мишени – событие. ■

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример. □ Брошена монета. Появление “орла” исключает появление “решки”. События “появился “орел” и “появилась “решка” – несовместные. ■

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из этих событий.

Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Пример. □ Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу. ■

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример. □ Появление “орла” и появление “решки” при бросании монеты – равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную форму (цилиндрическую) и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты. ■

Каждый из возможных результатов испытания называют элементарным событием (элементарным исходом).

Обозначим их через ω ₁, ω ₂, ω ₃, ….

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называют благоприятствующими этому событию.

Таким образом, некоторое событие А наблюдается, если в испытании наступит один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих событию А. В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий; элементарные же события не подразделяются на другие события.

Обобщим вышеизложенное. Пусть в результате испытания наступит одно и только одно из элементарных событий ω_i (i = 1, 2, 3, …, n).

Тогда множество Ω = { ω_i | i = 1, 2, 3, …, n } называют пространством элементарных событий.

Пример. □ Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них − красные, 3 – синие и 1 – белый. И пусть из урны наудачу извлекается один шар.

Очевидно, что событие А (извлечен красный шар) подразделяется на два элементарных события (исхода): ω ₁, ω ₂ и они являются благоприятствующими для этого события; событие В (извлечен синий шар) подразделяется на три элементарных события (исхода): ω ₃, ω ₄, ω ₅ и они являются благоприятствующими для этого события; событие С имеет одно элементарное событие ω ₆ и оно является благоприятствующим для этого события.

Событие А наступит, если в испытании наступит один, безразлично какой, из элементарных исходов ω ₁ или ω ₂. Аналогично для событий В и С. Множество Ω = { ω ₁, ω ₂, ω ₃, ω ₄, ω ₅, ω ₆} − пространство элементарных событий для данной задачи. ■

При вычислении вероятностей часто используются формулы комбинаторики.

Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающихся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок

Р_п = п!,

где п! = 1∙2∙3∙…∙ п, 0! = 1.

Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

□

Данная задача подпадает под понятие перестановок. Следовательно,

Р ₃= 3! = 1∙2∙3 = 6.

■

Размещениями называют комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число всех возможных размещений

= = п (п − 1)(п − 2) … (п − т + 1).

Пример. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по два?

□

Искомое число сигналов:

= = = 30

или

= 6∙5 = 30.

■

Сочетаниями называют комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число всех сочетаний

=.

Пример. Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

□

Искомое число способов:

= = = 45.

■

Связь между размещениями, перестановками и сочетаниями

= Р_т .

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов т способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А, либо В можно т + п способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов т способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана т ∙ п способами.

Одним из основных понятий теории вероятностей является относительная частота.

Относительной частотой события А называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний, т.е.

W (A) = ,

где т – число появлений события; п – общее число испытаний.

Пример. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Найти относительную частоту поражения цели.

□

Пусть событие А – поражение цели.

Искомая частота:

W (A) = = .

■

Относительная частота обладает свойством устойчивости: в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа.

Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события. Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно взять за приближенное значение вероятности.

Одним из основных понятий теории вероятностей является вероятность. Существует несколько определений этого понятия. Рассмотрим определение, которое называют классическим.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

Р (А) = ,

где т – число элементарных исходов, благоприятствующих А; п – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты заключаем: нахождение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; нахождение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Свойства:

1⁰. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно,

Р (А) = = = 1.

2⁰. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно,

Р (А) = = = 0.

3⁰. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, в этом случае 0 < m < n, значит, 0 < < 1. Следовательно,

0 < Р (А) < 1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0 ≤ Р (А) ≤1.

Пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них − красные, 3 – синие и 1 – белый. И пусть из урны наудачу извлекается один шар. Найти вероятность появления красного шара, синего шара, белого шара.

□

Пусть

А – появление красного шара;

В – появление синего шара;

С – появление белого шара.

Тогда

Р (А) = = = ; Р (В) = = = ; Р (С) = = .

■

Недостатком классического определения вероятности является то, что число элементарных исходов испытания предполагается конечным. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В этих случаях классическое определение вероятности неприменимо. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть пространства).

Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через meas, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область g – часть области G, равна

Р (А) = ,

где событие А – попадание тоски в область g.

Пример. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t < T). Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

□

Пусть А − сигнализатор сработает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств соответственно через х и у. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства

0 ≤ х ≤ Т,

0 ≤ у ≤ Т.

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат OXY. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки квадрата ОТАТ.

Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как область G, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов поступления сигналов.

Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t, т.е. если у – х < t при у > x и х – у < t при х > у, или, что то же,

у < х + t при у > x, (а)

у > x − t при y < x. (б)

Неравенство (а) выполняется для тех точек области G, которые лежат выше прямой у = х и ниже прямой у = х + t; неравенство (б) имеет место для точек, расположенных ниже прямой у = х и выше прямой у = x − t.

Таким образом, все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (а) и (б), принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Следовательно, этот шестиугольник можно рассматривать как область g, координаты точек которой являются благоприятствующими моментами времени х и у.

Искомая вероятность:

Р (А) = = = = .

■

Теорема сложения вероятностей

Суммой двух событий А и В называют событие А + В, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Если два события А и В – несовместные, то А + В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

○ Пусть п – общее число возможных элементарных исходов испытания; т ₁ – число исходов, благоприятствующих событию А; т ₂ – число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равна т ₁ + т ₂. Тогда

Р (А + В) = = + = Р (А) + Р (В). ●

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А ₁ + А ₂ + … + А_п) = Р (А ₁) + Р (А ₂) +…+ Р (А_п).

Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Наудачу извлекается один шар. Найти вероятность появления цветного шара (красного или синего).

□

Пусть

А – появление красного шара;

В – появление синего шара.

Тогда

А + В – появление цветного шара.

События А и В несовместные, поэтому по теореме 1 имеем

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Вероятности событий А и В:

Р (А) = = = ;

Р (В) = = = .

Искомая вероятность:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) = + = .

■

Теорема 2. Сумма вероятностей событий А ₁ + А ₂ + … + А_п, образующих полную группу, равна единице:

Р (А ₁) + Р (А ₂) +…+ Р (А_п) = 1.

○ Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

Р (А ₁ + А ₂ + … + А_п) = 1.

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему 1:

Р (А ₁ + А ₂ + … + А_п) = Р (А ₁) + Р (А ₂) +…+ Р (А_п).

Сравнивая два последних равенства, получим

Р (А ₁) + Р (А ₂) +…+ Р (А_п) = 1. ●

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

Если одно из противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .

Пример. □ Попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события. Если А – попадание, то − промах. ■

Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р (А) + Р () = 1.

○ Противоположные события образуют полную группу. Тогда, согласно предыдущей теореме, получаем

Р (А) + Р () = 1. ●

Замечание 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают q. Тогда теорему 3 можно записать в виде

р + q = 1.

Замечание 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле

Р (А) = 1 – Р ().

Пример. В ящике имеется u деталей, из которых v стандартных. Найти вероятность того, что среди k наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.

□

Пусть

А – среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.

Тогда противоположным событием будет событие

− среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной.

Очевидно,

Р (А) = 1 – Р ().

Найдем вероятность события :

Р () = .

Общее число элементарных исходов:

п = .

Число нестандартных деталей равно u − v. Тогда число благоприятствующих событию элементарных исходов:

т = .

Поэтому вероятность того, что среди извлечённых k деталей нет ни одной стандартной, равна

Р () = = .

Тогда

Р (А) = 1 – Р () = 1 − .

■

Если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит – в этом заключается принцип практической невозможности маловероятных событий.

Если вероятность события А близка к нулю, то вероятность близка к единице. Отсюда: если случайное событие имеет вероятность очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит.

Какую вероятность считать близкой к нулю (единице), зависит от существа задачи.

Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Пример. □ Если А, В, С – появление “орла” соответственно в 1, 2 и 3 бросаниях монеты, то АВС − выпадение “орла” во всех трех испытаниях. ■

Вероятность (или Р (В | A))называют условной вероятностью события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило (аналогично (или Р (А | В)).

В отличии от условных вероятностей Р (А), Р (В) – безусловные вероятности.

Исходя из классического определения вероятности, можно доказать, что

= (или = ).

Теорема 1. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р (АВ) = Р (А) .

○ Из формулы = следует Р (АВ) = Р (А) . ●

Замечание 1. Применяя формулу к событию ВА, получим

Р (ВА) = Р (В) .

Событие ВА не отличается от события АВ, т.е. Р (ВА) = Р (АВ).

Следовательно,

Р (В) = Р (А) .

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причём вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Р (А ₁ А ₂ А ₃… А_{п −1} А_п) = Р (А ₁)….

Пример. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

□

Пусть

А – первый валик конусный;

В – второй валик эллиптический;

АВ − первый валик конусный, а второй валик эллиптический.

Найдем вероятности этих событий:

Р (А) = = ,

т.к. событие А наступило, то мы имеем условную вероятность, поэтому

= = .

Здесь п = 9, так как один валик уже взят.

Значит,

Р (АВ) = Р (А) = ∙= .

■

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

= Р (В).

Аналогично: = Р (А).

Если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В.

Теорема 2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р (А) Р (В).

Последнее равенство часто принимают в качестве определения независимых событий: два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

Замечание 2. Если события А и В независимы, то независимы также события А и , и В, и .

Несколько событий называют независимыми, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р (А ₁ А ₂ А ₃… А_п) = Р (А ₁) Р (А ₂) Р (А ₃)… Р (А_п).

Замечание 3. Если события А ₁, А ₂,…, А_п независимы, то и противоположные им события , ,…, также независимы.

Пример. Найти вероятность совместного появления “орла” при одном бросании двух монет.

□

Пусть

А – появление “орла” у первой монеты;

В – появление “орла” у второй монеты;

АВ − появление “орла” у обеих монет.

Найдем вероятности этих событий:

Р (А) = = ,

Р (В) = = .

События А и В независимы, поэтому

Р (АВ) = Р (А) Р (В) = ∙= .

■

Пример. (пример на использование теорем сложения и умножения вероятностей).

Пусть вероятности появления каждого из двух независимых событий А и В соответственно равны р ₁ и р ₂ . Найти вероятность появления только одного из этих событий.

□

Заметим, что, например, появление т о л ь к о первого события А равносильно появлению события А (появилось первое и не появилось второе события). Тогда получим события:

А − появилось только событие А;

В − появилось только событие В.

Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий А, В, будем искать вероятность Р (А + В) появления одного, безразлично какого из событий А , В. Так как эти события несовместны, то применима теорема сложения

Р (А + В) = Р (А ) + Р ( В).

Так как события А, В, , независимы, то

Р (А ) = Р (А) Р (),

Р ( В) = Р () Р (В).

По условию задачи

Р (А) = р ₁, Р (В) = р ₂.

Тогда

Р () = 1 − Р (А) = 1 − р ₁= q ₁;

Р () = 1 − Р (В) = 1 − р ₂= q ₂.

Подставляя в формулу, получим искомую вероятность:

Р (А + В) = Р (А ) + Р ( В) = Р (А) Р () + Р () Р (В) = р ₁ q ₂ + q ₁ р ₂.

■

Теорема 3. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий А ₁, А ₂,…, А_п равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , ,…, :

Р (А) = 1 – Р () Р ()… Р ()

или

Р (А) = 1 – q ₁ q ₂… q_п,

где

А − появление хотя бы одного из событий А ₁, А ₂,…, А_п.

○ События А и , ,…, (ни одно из событий не наступило) противоположны. Следовательно,

Р (А) + Р (…) = 1.

Отсюда, пользуясь теоремой 2, получим

Р (А) = 1 – Р (…) = 1 – Р () Р ()… Р ()

или

Р (А) = 1 – q ₁ q ₂… q_п. ●

Замечание 4. Если события А ₁, А ₂,…, А_п имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

Р (А) = 1 – q^п.

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трёх орудий: р ₁= 0,8, р ₂ = 0,7, р ₃ = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

□

Пусть

А – хотя бы одно попадание;

В – попадание из первого орудия;

С – попадание из второго орудия;

D – попадание из третьего орудия.

События В, С, D независимы.

Вероятности противоположных событий:

Р () = 1 – р ₁ = 1 – 0,8 = 0,2 = q ₁;

Р () = 1 – р ₂ = 1 – 0,7 = 0,3 = q ₂;

Р () = 1 – р ₃ = 1 – 0,9 = 0,1 = q ₃.

Искомая вероятность

Р (А) =1 – q ₁ q ₂ q ₃ =1 – 0,2∙0,3∙0,1= 0,994.

■

Следствия теорем сложения и умножения

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример. □ Пусть А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные. ■

Теорема 1. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) − Р (АВ). (1)

○ Так как события А и В совместные, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трёх несовместных событий: А, В или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) + Р (АВ). (2)

Событие А произойдёт, если наступит одно из двух несовместных событий: А или АВ, т.е.

Р (А) = Р (А) + Р (АВ).

Отсюда

Р (А) = Р (А) − Р (АВ). (3)

Аналогично:

Р (В) = Р (В) + Р (АВ).

Отсюда

Р (В) = Р (В) − Р (АВ). (4)

Подставляя (3) и (4) в (2), получим:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) − Р (АВ). ●

Замечание 1. События А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) − Р (А) Р (В). (5)

Для зависимых событий:

Р (А + В)= Р (А) + Р (В) − Р (А) Р_А (В) (6)

или

Р (А + В)= Р (А) + Р (В) − Р (В) Р_В (А). ()

Замечание 2. События А и В могут быть несовместными. В этом случае Р (АВ) = 0. Тогда

Р (А + В)= Р (А) + Р (В),

т.е. получили теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Таким образом, формула (1) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р ₁= 0,7; р ₂= 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним из орудий.

□

Пусть

А – попадание из первого орудия;

В – попадание из второго орудия;

А + В – хотя бы одно попадание при одном залпе.

События А и В независимые. Следовательно,

Р (АВ) = Р (А) Р (В) = 0,7∙0,8 = 0,56.

Искомая вероятность:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) − Р (А) Р (В) = 0,7 + 0,8 − 0,56 = 0,94.

Так как события А и В независимые, то можно было использовать теорему 3 из пункта “ Теорема умножения вероятностей”, т.е. воспользоваться формулой

Р (С) = 1 – q ₁ q ₂,

где С – хотя бы одно попадание.

Тогда

Р (С) = 1 – q ₁ q ₂ = 1 – (1 − р ₁)(1 − р ₂) = 1 – (1 − 0,7)(1 − 0,8)=1 – 0,3∙0,2= 0,94.

■

Теорема 2. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В ₁, В ₂, …, В_п, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р (А) = Р (В ₁)(А) + Р (В ₂)(А) +…+ Р (В_п)(А) = , (7)

(7) – формула полной вероятности.

○ По условию, событие А может наступить, если появится одно из несовместных событий В ₁, В ₂, …, В_п, т.е. событие А появится, если появится одно, безразлично какое, из несовместных событий В ₁ А, В ₂ А, …, В_пА. Тогда, по теореме сложения получим

Р (А) = Р (В ₁ А) + Р (В ₂ А) +…+ Р (В_пА). (8)

По теореме умножения вероятностей зависимых событий вычислим каждое слагаемое

Р (В ₁ А) = Р (В ₁)(А),

Р (В ₂ А) = Р (В ₂)(А), (9)

……………………….

Р (В_пА) = Р (В_п)(А).

Подставляя правые части равенств (9) в (8), получим формулу полной вероятности

Р (А) = Р (В ₁)(А) + Р (В ₂)(А) + … + Р (В_п)(А). ●

Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая деталь(из наудачу взятого набора) – стандартная.

□

Пусть

А – извлечённая деталь стандартная;

В ₁ – деталь извлечена из 1-го набора;

В ₂ – деталь извлечена из 2-го набора;

(А) – вероятность того, что деталь стандартная при условии, что она извлечена из 1-го набора;

(А) – вероятность того, что деталь стандартная при условии, что она извлечена из 2-го набора.

Имеем:

Р (В ₁) = = , Р (В ₂) = = ,

(А) = 0,8, (А) = 0,9.

По формуле полной вероятности найдём искомую вероятность:

Р (А) = Р (В ₁)(А) + Р (В ₂)(А) = 0,5∙0,8 + 0,5∙0,9 = 0,85.

■

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В ₁, В ₂, …, В_п, образующих полную группу.

Так как заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Вероятность появления события А вычисляется по формуле полной вероятности

Р (А) = .

Допустим, что произведено испытание, в результате которого событие А наступило. Пусть требуется найти вероятности гипотез при условии, что событие А наступило, т.е. надо найти условные вероятности

(В ₁), (В ₂), …, (В_п).

Найдем условную вероятность (В ₁). По теореме умножения имеем

Р (АВ ₁) = Р (А)(В ₁) = Р (В ₁)(А).

Отсюда

(В ₁) = ,

где Р (А) – полная вероятность, т.е.

(В ₁) = .

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы B_i (i = 1, 2, …, n) может быть вычислена по формуле

(В_i) = , (10)

(10) – формулы Бейеса.

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролёров. Вероятность того, что деталь попадёт к 1-ому контролёру, равна 0,6, а ко 2-ому – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной 1-ым контролёром, равна 0,94, а 2-ым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил 1-ый контролёр.

□

Пусть

А – годная деталь признана стандартной;

гипотеза В ₁ – деталь проверил 1-ый контролер;

гипотеза В ₂ – деталь проверил 2-ой контролер;

(А) – вероятность того, что деталь стандартная при условии, что её проверил 1-ый контролёр;

(А) – вероятность того, что деталь стандартная при условии, что её проверил 2-ой контролёр.

Вероятность того, что деталь проверил 1-ый контролер найдем по формуле Бейеса:

(В ₁) = .

По условию задачи:

Р (В ₁) = 0,6; Р (В ₂) = 0,4;

(А) = 0,94; (А) = 0,98.

Искомая вероятность:

(В ₁) = 0,59.

Видно, что до испытания вероятность гипотезы В ₁ равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала равной 0,59. Таким образом, использование формулы Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.

■

Повторение испытаний

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такое испытание называют независимым относительно события А.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Будем считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, т.е. равна р. Следовательно, вероятность не наступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q = 1 – p. Такую постановку задачи называют схемой Бернулли.

Вычислить вероятность того, что при п испытаниях событие А наступит ровно k раз и, следовательно, не наступит n – k раз можно по формуле

Р_п (k) = p^kq^n−k, (1)

(1) – формула Бернулли.

Замечание. В этом случае не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определённой последовательности.

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р = 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

□

Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых 6 суток постоянна и равна р =0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q = 1 – р = = 1 – 0,75 = 0,25. Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

Р ₆(4) = p ⁴ q ²=(0,75)⁴(0,25)² = 0,3.

■

При большом числе испытаний п использовать формулу Бернулли сложно – большие числа. В этом случае искомую вероятность можно вычислить приближённо, используя локальную теорему Муавра – Лапласа:

Теорема 1. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Р_п (k) того, что событие А появится в п испытаниях k раз, приближённо равна (тем точнее, чем больше п)

Р_п (k) ∙=∙ φ (х), (2)

где х = .

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции φ (х) = для х > 0. Для х < 0 используют те же таблицы, т.к. функция φ (х) − четная, т.е. φ (− х) = φ (х).

Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

□

По условию задачи: п = 400; k = 80; p = 0,2; q = 0,8. Тогда

Р ₄₀₀(80) ∙ φ (х) =