Пример. Прямая и плоскость в пространстве

Прямая и плоскость в пространстве

Пример.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки

М₁ (-1, 2, 3) и М₂(2, 6, -2).

Решение.

Используем уравнение (10):

,

или

− искомое уравнение прямой, проходящей через точки М₁(-1, 2, 3) и М₂(2, 6, -2).

Угол между прямой и плоскостью ax + by + cz + d = 0 определяется выражением

.

Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид

a·m+b·n+c·p=0.

Условием перпендикулярности прямой и плоскости являются равенства

Найти проекцию точки М(3, 1, -1) на плоскость α: x + 2y + 3z -30 = 0.

Решение.

Нужно найти координаты точки М₀, которая является основанием перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость α.

Составим параметрическое уравнение прямой ℓ (по условию прямая ℓ перпендикулярна плоскости α).

Для этого возьмем и используем координаты точки М.

Получаем x = t + 3, y = 2t + 1, z = 3t – 1.

Решая систему

Получаем t+3+4t+2+9t-3-30=0, 14t=28, t=2.

Тогда x=2+3=5, y=2·2+1=5, z=3·2-1=5.

Значит М₀(5, 5, 5) − искомая проекция точки М(3, 1, -1) на плоскость α.

Дата добавления: 2014-10-17