Прямая в пространстве

Пример.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(5; 5; 0) и перпендикулярной вектору = (4; 3; 2).

Решение.

Используя уравнение (5), получаем

4(x-5)+3(y-5)+2(z-0)=0.

Тогда

4x+3y+2z-35=0 − искомое уравнение плоскости, проходящей через точку М(5; 5; 0) и перпендикулярной вектору = (4; 3; 2).

Прямая в пространстве может быть задана двумя пересекающимися плоскостями (рис 4), уравнения которых a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 и

a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0.

Тогда уравнения прямой будет иметь вид:

(8)

Уравнение (8) называют общим уравнением прямой в пространстве.

Уравнение прямой ℓ, проходящей через точку и параллельной вектору получают на основе условия коллинеарности двух векторов и :

(9)

Уравнение (9) называют каноническим уравнением прямой.

Вектор называется направляющим вектором прямой.

Уравнения прямой, проходящие через точки и записываются в виде

(10)

Параметрическое уравнение прямой получают, если каждое из отношений (9) приравнять к параметру t:

Угол между двумя прямыми с направляющими векторами и определяется по формуле

.

Условие параллельности двух прямых записывается в виде

.

Условие перпендикулярности двух прямых записывается в виде

.

Дата добавления: 2014-10-17